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高一數(shù)學《直線與平面垂直的判定一》教案設計
一、教學目標
1.借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義。
2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直判定的定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題，進一步培養(yǎng)學生的空間觀念。
3.讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數(shù)學的興趣。
二、教學重點、難點
1.教學重點：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。
2.教學難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。
三、課前準備
1.教師準備：教學課件
2.學生自備：
三角形紙片、鐵絲(代表直線)、紙板(代表平面)、三角板
四、教學過程設計
1.直線與平面垂直定義的建構(gòu)
(1)創(chuàng)設情境
�、僬埻瑢W們觀察圖片，說出旗桿與地面、高樓的側(cè)棱與地面的位置有什么關(guān)系?
②請把自己的數(shù)學書打開直立在桌面上，觀察書脊與桌面的位置有什么關(guān)系?
�、壅垖ⅱ僦衅鞐U與地面的位置關(guān)系畫出相應的幾何圖形。
(2)觀察歸納
�、偎伎迹阂粭l直線與平面垂直時，這條直線與平面內(nèi)的直線有什么樣的位置關(guān)系?
②多媒體演示：旗桿與它在地面上影子的位置變化。
�、蹥w納出直線與平面垂直的定義及相關(guān)概念。
定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.
直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。
用符號語言表示為：
(3)辨析(完成下列練習)：
�、偃绻粭l直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。
�、谌鬭⊥α,b
α，則a⊥b。
在創(chuàng)設情境中，學生練習本上畫圖，教師針對學生出現(xiàn)的問題，如不直觀、不標字母等加以強調(diào)，并指出這就叫直線與平面垂直，引出課題。
在多媒體演示時，先展示動畫1使學生感受到旗桿AB所在直線與過點B的直線都垂直。再展示動畫2使學生明確旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點B的直線B1C1也垂直，進而引導學生歸納出直線與平面垂直的定義。
在辨析問題中，解釋“無數(shù)”與“任何”的不同，并說明線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化，給出常用命題：
2.直線與平面垂直的判定定理的探究
(1)設置問題情境
提出問題：學校廣場上樹了一根新旗桿，現(xiàn)要檢驗它是否與地面垂直，你有什么好辦法?
(2)折紙試驗
如圖，請同學們拿出準備好的一塊(任意)三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，(BD、DC與桌面接觸).觀察并思考：
�、僬酆跘D與桌面垂直嗎?
②如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直?
�、鄱嗝襟w演示翻折過程。
(3)歸納直線與平面垂直的判定定理
�、偎伎迹河烧酆跘D⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎?由此你能得到什么結(jié)論?
�、跉w納出直線與平面垂直的判定定理。
定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
用符號語言表示為：
在討論實際問題時，學生同桌合作進行試驗(將鐵絲當旗桿，桌面當?shù)孛?后交流方案，如用直角三角板量一次，量兩次等。教師不作點評，說明完成下面的折紙試驗后就有結(jié)論。
在折紙試驗中，學生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導這兩類學生進行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性。
在歸納直線與平面垂直的判定定理時，先讓學生敘述結(jié)論，不完善的地方教師引導、補充完整，并結(jié)合“兩條相交直線確定一個平面”的事實，簡要說明直線與平面垂直的判定定理。然后，學生試用圖形語言表述，練習本上畫圖，可能出現(xiàn)垂足與兩相交直線交點重合的情況(如圖)，教師加以說明，同時給出符號語言表述。
在理解直線與平面垂直的判定定理時，強調(diào)“兩條”、“相交”缺一不可，并結(jié)合前面“檢驗旗桿與地面垂直”問題再進行確認。指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，這充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。
3.直線與平面垂直的判定定理的初步應用
(1)嘗試練習：
求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。
學生根據(jù)題意畫圖，將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：不妨設
請三位同學板演，其余同學在練習本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，同時指出：這為證明“線線垂直”提供了一種方法。
(2)嘗試練習：如圖，有一根旗桿AB高8m，它的頂端A掛有兩條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點(和旗桿腳不在同一條直線上)C、D。如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直.為什么?
本題需要通過計算得到線線垂直。學生練習本上完成后，對照課本P69例1,完善自己的解題步驟。
(3)嘗試練習：如圖，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。
此題有一定難度，教師引導學生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，學生練習本上完成，對照課本P69例2,完善自己的解題步驟。
4.總結(jié)反思
(1)通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法?
(2)在證明直線與平面垂直時應注意哪些問題?
(3)本節(jié)課你還有哪些問題?
學生發(fā)言，互相補充，教師點評，歸納出判斷直線與平面垂直的方法，給出框圖(投影展示)，同時，說明本課蘊含著轉(zhuǎn)化、類比、歸納、猜想等數(shù)學思想方法，強調(diào)“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路，并鼓勵學生反思，大膽質(zhì)疑，教師作好記錄，以便查缺補漏。
5.布置作業(yè)
(1)如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD.
求證：PO⊥平面ABCD
(2)課本P70 練習2
(3)探究：如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則圖中有幾個直角三角形?由此你認為三棱錐中最多有幾個直角三角形?四棱錐呢?
【板書設計】
教學設計說明
在這次新課程數(shù)學教學內(nèi)容中，立體幾何不論從教材編排還是教學要求上都發(fā)生了很大變化，因而，我在本節(jié)課的處理上也作了相應調(diào)整，借助多媒體輔助教學，采用“引導—探究式”教學方法。整個教學過程遵循“直觀感知—操作確認—歸納總結(jié)”的認知規(guī)律，注重發(fā)展學生的合情推理能力，降低幾何證明的難度，同時，加強空間觀念的培養(yǎng)，注重知識產(chǎn)生的過程性，具體體現(xiàn)在以下幾個方面：
1.線面垂直的定義沒有直接給出，而是讓學生在對圖形、實例的觀察感知基礎上，借助動畫演示幫助學生概括得出，并通過辨析問題深化對定義的理解。這樣就避免了學生死記硬背概念，有利于理解數(shù)學概念的本質(zhì)。
2.線面垂直的判定定理不易發(fā)現(xiàn)，在教學中，通過創(chuàng)設問題情境引起學生思考，安排折紙試驗，討論交流，給學生充分活動的時間與空間，幫助學生從自己的實踐中獲取知識。教師盡量少講，學生能做的事就讓他們自己去做，使學生更好的參與教學活動，展開思維，體驗探索的樂趣，增強學習數(shù)學的興趣。
3.本節(jié)中教師不作例題示范，而是讓學生先嘗試完成，后講評明晰。為更好地鞏固判定定理，設置了有梯度的練習，其中練習(1)是補充題，是判定定理的最簡單的運用。作業(yè)中增加了基礎題(第1題)和開放性題目(第3題)，這樣，有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，使學生在不同的幾何體中體會線面垂直關(guān)系，發(fā)展學生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。同時，在教學中，始終注重訓練學生準確地進行三種語言(文字語言、圖形語言和符號語言)的轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)運用圖形語言進行交流的能力。
4.以問題討論的方式進行小結(jié)，培養(yǎng)學生反思的習慣，鼓勵學生對問題多質(zhì)疑、多概括。
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