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構(gòu)造解析幾何模型巧解最值
構(gòu)造是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是創(chuàng)造力、想象力的較高表現(xiàn)形式.本文就結(jié)合一類求最值問題構(gòu)造解析幾何模型，以展現(xiàn)構(gòu)造的巧妙之處.
【例1】 求f(α，β)=(cosα-5cosβ)2+(sinα+5-2sinβ)2的最大值和最小值.
解:將設(shè)w=(cosα-5cosβ)2+(sinα+5-2sinβ)2，則將w構(gòu)造為動(dòng)點(diǎn)P(cosα，sinα+5)與動(dòng)點(diǎn)Q(5cosβ，2sinβ)的距離，又點(diǎn)P的軌跡為⊙A:x2+(y-5)2=1，點(diǎn)Q的軌跡為橢圓E:x225+y24=1，從而w可構(gòu)造為圓⊙A上的點(diǎn)與橢圓E上的點(diǎn)之間的距離.
圖1
設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M(x，y)，則|MA|=x2+(y-5)2.
由x225+y24=1可得x2=25(1-y24)，其中y∈[-2，2]，
∴|MA|=25(1-y24)+(y-5)2=-21y24-10y+50=-214(y+2021)2+115021(y∈[-2，2]).
顯然，當(dāng)y=-2021時(shí)，|MA|?max=115021，當(dāng)y=2時(shí)，|MA|?min=3.
所以，w?max=(115021+1)2，w?min=(3-1)2=4.
【例2】 已知⊙O:x2+y2=1和定點(diǎn)A(2，1)，由⊙O外一點(diǎn)P(a，b)向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|.(1)求實(shí)數(shù)a，b間的等量關(guān)系;(2)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)⊙P的方程.
解:(1)連接OP，因Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.
圖2
又|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2，
即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2，
化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a，b間的等量關(guān)系為:2a+b-3=0.
(2)由(1)知將動(dòng)點(diǎn)P構(gòu)造為直線L:2x+y-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，顯然直線L與⊙O是相離關(guān)系.
這樣要使以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)且半徑取最小，
只需OP⊥L于P且⊙P與⊙O外切時(shí)滿足條件.
此時(shí)直線OP的方程為:y=12x，即x-2y=0.
由方程組2x+y-3=0，x-2y=0得x=65，y=35.
即滿足條件的圓P的圓心為(65，35).
此時(shí)|OP|=|2×0+0-3|5=355，
∴R?min=|OP|-1=355-1.
∴滿足條件的圓P的方程為:(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.
【例3】 設(shè)圓滿足:①截y軸所得弦長(zhǎng)為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線L:x-2y=0
的距離最小的圓的方程.
圖3-1
解:設(shè)圓的圓心為P(x，y)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸、y軸的距離分別為|y|、|x|.
∵題設(shè)圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90°，
∴圓P截x軸的弦長(zhǎng)為2r，故r2=2y2.
又∵圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有r2=x2+1，從而得2y2-x2=1.
∴將動(dòng)圓圓心P構(gòu)造為雙曲線E:2y2-x2=1上的動(dòng)點(diǎn)，這樣只需要求出雙曲線E到直線L的距離的最小值.
設(shè)與直線L平行的且與雙曲線E相切的直線L?1的方程為:x-2y+c=0，
由2y2-x2=1，x-2y+c=0，消去x得2y2-4cy+1+c2=0，
∴Δ=16c2-8(1+c2)=0.
∴c=±1.
當(dāng)c=1時(shí)，x=1，y=1，此時(shí)r2=2y2=2;
當(dāng)c=-1時(shí)，x=-1，y=-1，此時(shí)r2=2y2=2.
∴所求圓的方程是:(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
【例4】 若函數(shù)f(x)=k+2+x存在區(qū)間[a，b]，使f(x)在[a，b]上值域是[a，b]，求k的最大值.
圖4
解:顯然函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
∴由題意可得
a=k+2+a，b=k+2+b.
故a、b是方程x=k+2+x，即方程x+k+2=x
的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.
于是構(gòu)造直線L:y=x-k-2與拋物線E:y2=x(x≥0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn).要求k的最大值，只需求符合條件的直線在y軸上截距的最小值.所以當(dāng)直線L過(guò)點(diǎn)(0，0)時(shí)，k?max=-2.
【例5】 求函數(shù)f(x)=cosx-2sinx(x∈(0，π))的最大值.
圖5
解:設(shè)A(sinx，cosx)，B(0，2)，x∈(0，π)，顯然A在
單位圓x2+y2=1(x>0)的右半圓上運(yùn)動(dòng)，
將f(x)的值構(gòu)造為直線AB的斜率，因此當(dāng)直線AB與⊙O右半圓相切時(shí)，f(x)有最大值.
∴f(x)?max=-3.
以上列舉了通過(guò)構(gòu)造兩點(diǎn)間距離、直線的斜率、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，利用解析幾何中的公式、曲線的性質(zhì)等解決問題，在此過(guò)程中大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，取得了意想不到的解題效果
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