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三角函數(shù)的學(xué)習(xí)論文
三角函數(shù)的學(xué)習(xí)論文主要以舉例的方式研究了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中如何發(fā)掘題目中蘊藏的隱含條件，并提出了具體的做法。
三角函數(shù)的學(xué)習(xí)論文【1】
關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 隱含條件 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)
一、中等職業(yè)學(xué)校三角函數(shù)中發(fā)掘隱含條件解題概述
之所以有些中等職業(yè)學(xué)校生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中成績上升慢或者是成績不好呢?主要一個原因就是學(xué)生沒有學(xué)會對題目中的隱含條進行挖掘。
許多學(xué)生在解題的時候依然存在誤區(qū)，只注重已經(jīng)條件給了哪些，不對題目進行深入的了解，這不但導(dǎo)致了解題效果受到影響，長此以往也會影響學(xué)生形成正確的解題思路和解題方式。
所以，在中等職業(yè)學(xué)校三角函數(shù)中，要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)覺隱含條件的能力。
二、中等職業(yè)學(xué)校三角函數(shù)學(xué)習(xí)中發(fā)掘隱含條件解題的實例分析
以下將結(jié)合實例分析中等職業(yè)學(xué)校三角函數(shù)學(xué)習(xí)和解題中發(fā)掘隱含條件的注意事項和解題步驟。
1、在解題的過程中首先應(yīng)注意對軸線角的挖掘
在解題的過程中，我們首先要對軸線角進行深入的挖掘，明確軸線角的定義和所蘊含的隱含條件。
軸線角的定義是終邊與坐標軸重合的角，即終邊落在 上的角，題目中凡是給出軸線角的時候，就一定意味著這個角的三角函數(shù)值要么是特殊值，要么就是不存在的，對此一定要引起我們的重視，所以在解題的過程中首先應(yīng)注意對軸線角的挖掘。
以下將以例題說明：
例1.已知sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，求cosα的值.
錯誤解法： ， 又因為 ，所以 。
評析：對以上的解題過程進行分析我們可以知道，上面的解題方法主要是建立在tanα≠0，tanβ≠0的前提下的，是通過這一條件而得出的結(jié)論，但是在已知條件中已經(jīng)給出了tanα=0，tanβ=0這一隱含的條件，即α=β=kπ(k∈Z)。
通過進一步分析可知，此時cosα=±1也同樣滿足題目的要求。
所以正確的答案應(yīng)該補充為cosα=± 或±1。
2、在解題過程中應(yīng)要對題目已知的三角函數(shù)值中角的范圍進一步深入發(fā)掘
在三角函數(shù)的解題過程中，如果三角函數(shù)值是已知條件的話，那么我們就要想辦法縮小函數(shù)值對應(yīng)的角，如果角度范圍過大的話，在求解的過程中將會得到題目要求以外的結(jié)果，致使做出錯誤答案。
例如以下例題：
例2.已知tan(α-β)= ,tanβ=- ,且α，β∈(0，π),求2α-β的值.
錯誤解法：， ，因為α，β∈(0，π)，所以2α-β∈(-π,2π) 故2α-β= 或 或
通過以上解題過程我們可以看出，該題在解題的時候沒有對三角函數(shù)值對應(yīng)的角度進行縮小，從而導(dǎo)致在求解的過程中，出現(xiàn)了多個角度值的現(xiàn)象，一旦出現(xiàn)這種狀況，將會干擾我們得出正確的結(jié)論，使我們對所得到的多個角度值無法做取舍，從而無法得出題目要求的結(jié)論。
而正確的解題過程應(yīng)該為：因為α，β∈(0，π)， ，所以 ，
又 ， 所以 ，因此 ，故 這一結(jié)果才是題目要求的結(jié)果。
3、解題完成后需要對三角函數(shù)值和求得的角進行驗算檢驗
在三角函數(shù)的解題過程中，對求得的三角函數(shù)值和角度進行驗算檢驗尤其必要，因為三角函數(shù)試題在求的過程中，會對應(yīng)多個角和多個三角函數(shù)值，極容易混淆，稍不注意就會求出增根或者是超范圍的結(jié)果，如果不及時對求得的角度代入原試題中驗證，將會導(dǎo)致錯誤結(jié)果，所以解題完成后對三角函數(shù)值和求得的角進行驗算檢驗是極其必要的。
例如：
例3.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根為tanα、tanβ，且α，β∈ ，求tan 的值.
錯誤解法：由題可知：tanα+tanβ=-4a，tanα?tanβ=3a+1
通過以上的解法我們可以看出：上面的解題方法沒有對解出的兩個值進行檢驗，考慮到a>1，
所以tanα+tanβ=-4a<0，tanα?tanβ=3a+1>0，所以tanα<0，tanβ<0，而α，β∈ ，所以 ，故 。
由此可見，對得出的結(jié)果進行檢驗是極其必要的，如果不進行檢驗，得出的結(jié)果難免會出現(xiàn)失誤。
將計算結(jié)果代入原式子進行檢驗實際上體現(xiàn)的是一種逆向思維，這種思維方式是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，所以建立起這種思維方式對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是大有益處的。
產(chǎn)生的好處體現(xiàn)在兩個方面：(1)鍛煉了解題能力，(2)保證了結(jié)果的準確性。
4、最后應(yīng)對三角函數(shù)中三個內(nèi)角的角度范圍進行深入的挖掘
在三角函數(shù)題目的求解過程中，有一個有力優(yōu)勢就是，在三角形的內(nèi)部，無論角度怎么變化，內(nèi)角和始終是 ，并且每一個角都不能是零。
這其實就是一個最大的隱含條件。
在設(shè)置題目的時候由于這是一個常識性的東西，所以題目中不用以已知條件的形式列出。
此外，在三角形中，鈍角和直角的數(shù)量最多只能有一個，這也是三角形的特性所決定的。
所以，我們在做三角函數(shù)題目的時候，對于這些隱含條件要深入的挖掘，不要只是停留在題目已知條件的表面上。
以下用一個例題來說明：
例4.在ΔBC中，若sinA= ,cosB= ,求cosC的值.
錯誤解法： ，又因為 。
因為cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB，從而 或 。
從以上的結(jié)果可以看出，上述解法中得到了兩個結(jié)果，那么這兩個結(jié)果都是我們想要的結(jié)果嗎?通過分析顯然不是。
之所以會出現(xiàn)這種多解的情況，主要的原因就是沒有對角度的范圍進行明確的指定。
上述的結(jié)果實際上代表了角度為銳角和鈍角時候所對應(yīng)的數(shù)值，這就需要在解題的過程中發(fā)掘隱含條件，看看題目要求的到底是求解銳角對應(yīng)的數(shù)值還是鈍角對應(yīng)的數(shù)值。
而通過分析認為：題目中∠A是銳角。
從而 ，所以所求的結(jié)果只有一種即 。
三、結(jié)論
通過以上的分析我們可以得出基本的結(jié)論：在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，必須學(xué)會對隱含條件進行挖掘和分析，否則將無法得出正確的結(jié)論。
對隱含條件的挖掘是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效手段。
參考文獻
[1]郭日青.如何學(xué)好三角函數(shù)漫談[J]
[2]何繼承.簡述如何在三角函數(shù)解題中發(fā)掘隱含條件[J]
[3]李博高.論中等職業(yè)學(xué)校三角函數(shù)的新式學(xué)習(xí)方法——隱含條件發(fā)掘法[J]
三角函數(shù)的學(xué)習(xí)【2】
【摘要】
高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是比較復(fù)雜的過程，對于三角函數(shù)部分，有些同學(xué)表現(xiàn)了較大的困難.這本身除了基礎(chǔ)不夠扎實，還與其他一些因素有關(guān).三角函數(shù)頗為復(fù)雜的函數(shù)公式是很多同學(xué)難以熟練掌握的，作為實踐教學(xué)中。
如何使得三角函數(shù)能夠為大多數(shù)同學(xué)所熟練掌握應(yīng)用是教學(xué)的重點.通過對三角函數(shù)的特殊規(guī)律的研究，從中把握住學(xué)習(xí)的要點，通過教學(xué)方法的改進適應(yīng)不同層次學(xué)生的接受能力，是三角函數(shù)學(xué)習(xí)的技巧性的東西，只有不斷的研究新的情況，研究符合學(xué)習(xí)的規(guī)律和教學(xué)規(guī)律，才能較好地學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容.
1如何掌握三角函數(shù)公式?
掌握三角函數(shù)的基本公式是最重要的，同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中，由于隨著學(xué)習(xí)的深入，前面的公式掌握得不夠牢靠，導(dǎo)致了后邊的學(xué)習(xí)跟不上，這就是由于三角函數(shù)最基礎(chǔ)的公式掌握不夠造成的.如何彌補這個缺陷，最重要的還是要牢記公式，沒有別的辦法，只有熟記公式，才能在以后的深入學(xué)習(xí)中不至于被動.?
倍角公式、半角公式、和差化積公式以及積化和差公式，是需要花時間和精力去掌握的，并且要經(jīng)常練習(xí)，才可以達到運用比較熟練的地步.?
2掌握基本的解題規(guī)律?
三角函數(shù)的題目有其基本的解題思路和過程，要掌握這些基本的方法，在高考中，三角函數(shù)的題目也無非就是這些內(nèi)容，不會偏離了這些基本的解題思路.對于題目，首先應(yīng)該觀察題目的基本敘述，了解清楚后，看適合于哪類三角函數(shù)的公式進行解題。
在解題過程中，對于自己運用公式的熟悉程度是一種考驗，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解;在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運用基本公式將表達式轉(zhuǎn)化為由一個三角函數(shù)表達的形式求解.?
對于常用的解題方法要熟練掌握，如數(shù)形結(jié)合法、代入檢驗法、特殊值法、待定系數(shù)法、排除法等.通過對這些方法的研究，使得學(xué)生不僅掌握這些方法，而且能夠舉一反三，同時，在應(yīng)用這些方法應(yīng)用時，可以做到綜合的運用，而不是單一的、片面的掌握.?
舉例來說，學(xué)習(xí)某個函數(shù)肯定是先學(xué)習(xí)定義，而定義一般是用函數(shù)式來定義的，并且定義式中的參數(shù)一般會有一定的限制，如一次函數(shù)y=ax+b，a不為0.定義域優(yōu)先應(yīng)該說所有的老師都明白，但是應(yīng)用的時候就可能會忘記.
事實上在方程與不等式的研究中也應(yīng)該有“定義域”優(yōu)先的原則，缺少了定義域就不是完整的函數(shù)的定義了.而函數(shù)的值域是由解析式與定義域唯一確定的，所以一般不寫，但它是研究的重點，研究整理方法也非常多，并且不同的函數(shù)研究的方法不一樣.?
3比較法的學(xué)習(xí)?
通過對函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、周期性、圖像變換等的理解和掌握，把握三角函數(shù)的這些基本性質(zhì)，與其他函數(shù)進行比較，以達到比較法的學(xué)習(xí).函數(shù)的概念、性質(zhì)的相同、相似點以及它們之間的差異會給學(xué)生在學(xué)習(xí)中留下較深的印象.通過比較法的學(xué)習(xí)，會加深對三角函數(shù)的理解和應(yīng)用.?
三角函數(shù)具有自身的特點，要從兩個方面加以注意：一是三角函數(shù)的圖像及性質(zhì).函數(shù)圖像是函數(shù)的一種直觀表示方法，它能形象地反映函數(shù)的各類基本性質(zhì)，因此對三個基本三角函數(shù)的圖像要掌握，它能幫助你記憶三角函數(shù)的性質(zhì).此外還要弄清y=Asin(ωx+φ)的圖像與y=sinx圖像的關(guān)系，掌握“A”“ω”“φ”的確切含義.
對于三角函數(shù)的性質(zhì)，要緊扣定義，從定義出發(fā)，導(dǎo)出各三角函數(shù)的定義域、值域、符號、最值、單調(diào)區(qū)間、周期性及奇偶性等.二是三角函數(shù)式的變換.三角函數(shù)式的變換涉及的公式較多，掌握這些公式要做到如下幾點：
一要把握各自的結(jié)構(gòu)特征，由特征促記憶，由特征促聯(lián)想，由特征促應(yīng)用;二要從這些公式的導(dǎo)出過程抓內(nèi)在聯(lián)系，抓變化規(guī)律，這樣才能在選擇公式時靈活準確.同時還要善于觀察三角函數(shù)式在代數(shù)結(jié)構(gòu)、函數(shù)名稱、角的形式等三個方面的差異，根據(jù)差異選擇公式，根據(jù)差異確定變換方向和變換方法.?
4有條理的歸納總結(jié)?
三角函數(shù)的公式看起來非常多，甚至有些雜亂，讓初學(xué)者往往無從下手，也令很多學(xué)生在過了一段時間后，會忘記這些基本的公式.但仔細研究三角函數(shù)會發(fā)現(xiàn)，其基本的公式是我們必須掌握的，任意角的轉(zhuǎn)化，掌握了誘導(dǎo)公式，就可以將任意角的計算轉(zhuǎn)化為0°～90°間角的三角函數(shù).從這方面看，三角函數(shù)的特點在于認真地歸納總結(jié)，即將一種較為復(fù)雜的狀態(tài)轉(zhuǎn)化為基本的狀態(tài)，或者將較為簡單的狀態(tài)進行解決的過程.?
具體來說，我們表示函數(shù)習(xí)慣于用y=f(x)表示，其中x表示自變量，y表示函數(shù)，f表示對應(yīng)關(guān)系.那么我們注意到：學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，初中就學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，但是沒有說什么是自變量，什么是函數(shù)，只是在直角三角形中，定義了銳角α的正弦、余弦、正切.?
高中把角推廣到任意角之后，給出三角函數(shù)的定義時，使用的角仍然為α，只是定義用解析角的終邊上的任意一點的坐標和該點到原點的距離來定義(特別地，也可用終邊與單位圓的交點的坐標定義)，在研究三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的時候，才把正弦函數(shù)的解析式寫成y=sinx，余弦函數(shù)的解析式寫成y=cosx.?
同樣道理，對于三角函數(shù)的其他一些內(nèi)容的掌握，都可以隨時進行歸納總結(jié)，隨時注重習(xí)題與基本課堂知識的結(jié)合，注意習(xí)題難度的布置.對于中等難度的習(xí)題應(yīng)該逐步加大，而盡量摒棄過難、過偏的習(xí)題。
高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)【3】
高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是比較復(fù)雜的過程，對于三角函數(shù)部分，有些同學(xué)表現(xiàn)了較大的困難.這本身除了基礎(chǔ)不夠扎實，還與其他一些因素有關(guān).三角函數(shù)頗為復(fù)雜的函數(shù)公式是很多同學(xué)難以熟練掌握的，作為實踐教學(xué)中，如何使得三角函數(shù)能夠為大多數(shù)同學(xué)所熟練掌握應(yīng)用是教學(xué)的重點.
通過對三角函數(shù)的特殊規(guī)律的研究，從中把握住學(xué)習(xí)的要點，通過教學(xué)方法的改進適應(yīng)不同層次學(xué)生的接受能力，是三角函數(shù)學(xué)習(xí)的技巧性的東西，只有不斷的研究新的情況，研究符合學(xué)習(xí)的規(guī)律和教學(xué)規(guī)律，才能較好地學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容.?
三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù).它們的本質(zhì)是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射.通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數(shù)域.另一種定義是在直角三角形中，但并不完全.現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復(fù)數(shù)系.?
一、如何掌握三角函數(shù)公式?
掌握三角函數(shù)的基本公式是最重要的，同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中，由于隨著學(xué)習(xí)的深入，前面的公式掌握得不夠牢靠，導(dǎo)致了后邊的學(xué)習(xí)跟不上，這就是由于三角函數(shù)最基礎(chǔ)的公式掌握不夠造成的.如何彌補這個缺陷，最重要的還是要牢記公式，沒有別的辦法，只有熟記公式，才能在以后的深入學(xué)習(xí)中不至于被動.?
倍角公式、半角公式、和差化積公式以及積化和差公式，是需要花時間和精力去掌握的，并且要經(jīng)常練習(xí)，才可以達到運用比較熟練的地步.?
二、掌握基本的解題規(guī)律?
三角函數(shù)的題目有其基本的解題思路和過程，要掌握這些基本的方法，在高考中，三角函數(shù)的題目也無非就是這些內(nèi)容，不會偏離了這些基本的解題思路.對于題目，首先應(yīng)該觀察題目的基本敘述，了解清楚后，看適合于哪類三角函數(shù)的公式進行解題。
在解題過程中，對于自己運用公式的熟悉程度是一種考驗，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解;在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運用基本公式將表達式轉(zhuǎn)化為由一個三角函數(shù)表達的形式求解.?
對于常用的解題方法要熟練掌握，如數(shù)形結(jié)合法、代入檢驗法、特殊值法、待定系數(shù)法、排除法等.通過對這些方法的研究，使得學(xué)生不僅掌握這些方法，而且能夠舉一反三，同時，在應(yīng)用這些方法應(yīng)用時，可以做到綜合的運用，而不是單一的、片面的掌握.?
舉例來說，學(xué)習(xí)某個函數(shù)肯定是先學(xué)習(xí)定義，而定義一般是用函數(shù)式來定義的，并且定義式中的參數(shù)一般會有一定的限制，如一次函數(shù)y=ax+b，a不為0.定義域優(yōu)先應(yīng)該說所有的老師都明白，但是應(yīng)用的時候就可能會忘記.
事實上在方程與不等式的研究中也應(yīng)該有“定義域”優(yōu)先的原則，缺少了定義域就不是完整的函數(shù)的定義了.而函數(shù)的值域是由解析式與定義域唯一確定的，所以一般不寫，但它是研究的重點，研究的方法也非常多，并且不同的函數(shù)研究的方法不一樣.?
三、比較法的學(xué)習(xí)?
通過對函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、周期性、圖像變換等的理解和掌握，把握三角函數(shù)的這些基本性質(zhì)，與其他函數(shù)進行比較，以達到比較法的學(xué)習(xí).函數(shù)的概念、性質(zhì)的相同、相似點以及它們之間的差異會給學(xué)生在學(xué)習(xí)中留下較深的印象.通過比較法的學(xué)習(xí)，會加深對三角函數(shù)的理解和應(yīng)用.?
三角函數(shù)具有自身的特點，要從兩個方面加以注意：一是三角函數(shù)的圖像及性質(zhì).函數(shù)圖像是函數(shù)的一種直觀表示方法，它能形象地反映函數(shù)的各類基本性質(zhì)。
因此對三個基本三角函數(shù)的圖像要掌握，它能幫助你記憶三角函數(shù)的性質(zhì).此外還要弄清y=Asin(ωx+φ)的圖像與y=sinx圖像的關(guān)系，掌握“A”“ω”“φ”的確切含義.對于三角函數(shù)的性質(zhì)，要緊扣定義，從定義出發(fā)，導(dǎo)出各三角函數(shù)的定義域、值域、符號、最值、單調(diào)區(qū)間、周期性及奇偶性等.二是三角函數(shù)式的變換.三角函數(shù)式的變換涉及的公式較多，掌握這些公式要做到如下幾點：
一要把握各自的結(jié)構(gòu)特征，由特征促記憶，由特征促聯(lián)想，由特征促應(yīng)用;二要從這些公式的導(dǎo)出過程抓內(nèi)在聯(lián)系，抓變化規(guī)律，這樣才能在選擇公式時靈活準確.同時還要善于觀察三角函數(shù)式在代數(shù)結(jié)構(gòu)、函數(shù)名稱、角的形式等三個方面的差異，根據(jù)差異選擇公式，根據(jù)差異確定變換方向和變換方法.?
四、有條理的歸納總結(jié)?
三角函數(shù)的公式看起來非常多，甚至有些雜亂，讓初學(xué)者往往無從下手，也令很多學(xué)生在過了一段時間后，會忘記這些基本的公式.但仔細研究三角函數(shù)會發(fā)現(xiàn)，其基本的公式是我們必須掌握的，任意角的轉(zhuǎn)化，掌握了誘導(dǎo)公式，就可以將任意角的計算轉(zhuǎn)化為0°～90°間角的三角函數(shù).從這方面看，三角函數(shù)的特點在于認真地歸納總結(jié)，即將一種較為復(fù)雜的狀態(tài)轉(zhuǎn)化為基本的狀態(tài)，或者將較為簡單的狀態(tài)進行解決的過程.?
具體來說，我們表示函數(shù)習(xí)慣于用y=f(x)表示，其中x表示自變量，y表示函數(shù)，f表示對應(yīng)關(guān)系.那么我們注意到：學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，初中就學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，但是沒有說什么是自變量，什么是函數(shù)，只是在直角三角形中，定義了銳角α的正弦、余弦、正切.?
高中把角推廣到任意角之后，給出三角函數(shù)的定義時，使用的角仍然為α，只是定義用解析角的終邊上的任意一點的坐標和該點到原點的距離來定義(特別地，也可用終邊與單位圓的交點的坐標定義)，在研究三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的時候，才把正弦函數(shù)的解析式寫成y=sinx，余弦函數(shù)的解析式寫成?y=?cosx.?
同樣道理，對于三角函數(shù)的其他一些內(nèi)容的掌握，都可以隨時進行歸納總結(jié)，隨時注重習(xí)題與基本課堂知識的結(jié)合，注意習(xí)題難度的布置.對于中等難度的習(xí)題應(yīng)該逐步加大，而盡量摒棄過難、過偏的習(xí)題.
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