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代數(shù)問題幾何建模策略
代數(shù)問題幾何建模策略【1】
摘 要:利用代數(shù)問題的幾何信息,建立模型,給出一些代數(shù)問題的解題策略。
關(guān)鍵詞:代數(shù)問題 幾何建模 策略
代數(shù)問題幾何建模是根據(jù)代數(shù)命題蘊(yùn)含的特征或性質(zhì),運(yùn)用適當(dāng)數(shù)學(xué)變換,將代數(shù)命題表述為等價的幾何命題,再借助幾何直觀性探尋解題途徑,從而解答代數(shù)命題的一種方法。運(yùn)用這種方法解題,必須審清題意,挖掘明顯或隱含的條件,找到恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn),進(jìn)行聯(lián)想、類比,進(jìn)而轉(zhuǎn)化。
題目I:已知a,b,c,d為正數(shù),,ac=bd,求證a=d,b=c
建模策略:從題目本身出發(fā),尋求解答難以找到突破口,注意到,如果把a(bǔ),b,c,d分別看作兩個直角三角形的直角邊,,分別表示這兩個直角三角形的斜邊的平方,建立如圖1幾何模型。利用RtABC與RtADC相似得其全等,AB=AD,BC=CD,即a=d,b=c。
題目Ⅱ:求的最小值,a、b、c是正數(shù)。
建模策略:表達(dá)式與兩點(diǎn)間距離公式很相似,可將其看作動點(diǎn)M(x、o)到兩定點(diǎn)A(o,a),B(c,-b)的距離的和,則只有這三點(diǎn)共線時才可能最小,由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的充要條件或者由三點(diǎn)共線知KMA=KAB,易得,代入原式化簡得當(dāng)且僅當(dāng)時,取得該值。
可見,代數(shù)問題幾何建模策略構(gòu)思精巧,不僅能化繁為簡,化抽象為直觀,而且能觸類旁通,鍛煉思維能力,增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。其關(guān)鍵在于尋找有效的數(shù)形結(jié)合模型,一般思路是(圖2)。
1平面幾何建模
就是為代數(shù)問題建立平面幾何模型,像題目I。
代數(shù)中的等式和不等式反映出來的是線段間的等量或不等量關(guān)系,根據(jù)這一特征,可用比較基本的知識點(diǎn)(如直角三角形、相似三角形的有關(guān)知識,平行線、圓的切割線、相交弦、射影定理,三角形的邊角不等關(guān)系,面積總量等于各面積分量之和等)對某些代數(shù)問題建立幾何模型。最常見有如下基本模型。
2解析曲線建模
題目Ⅴ:解方程
建模策略:將原式變形為。
取y2=4,則有。
這恰是以(1,0)、(11,0)為焦點(diǎn),8為實(shí)長軸,中心在(6,0)的雙曲線方程。由雙曲線定義可得雙曲線方程為,代y2=4于方程得,即為所求的方程解。
這種經(jīng)變形可轉(zhuǎn)化為解析曲線中的某些線量的代數(shù)問題,一般利用解析曲線的性質(zhì)求解,其幾何建模常見的有:三點(diǎn)共線(如題目Ⅱ),不同方程表爾同一曲線,直線斜率相等(題目Ⅱ),兩點(diǎn)間距離、圓錐曲線的定義及其性質(zhì)等。
3直曲交軌建模
這是一種最常用的方法。它要根據(jù)圓錐曲線與直線的位置關(guān)系及其所反映的性質(zhì)來探求解答思路。
題目Ⅵ:求函數(shù)的定義值域
建模策略:構(gòu)造直線L:s=yt,使t=x+2,,則s2=t-1(s≥0)是與L有公共點(diǎn)P(x+2,)的拋物線弧M,作圖(圖3)并由圖知,當(dāng)直線L在第一象限且處于t軸與相切時的切線之間時,L和M才有公共部分。
因此,0≤y≤K切(y為直線L的斜率)。
而過點(diǎn)(0,0)與拋物線s2=t-1(s≥0相切的切線方程為,這種策略需要根據(jù)己知條件或命題的特征,構(gòu)造過定點(diǎn)的直線和曲線方程,然后利用它們所表示的關(guān)系(相切、相交、共同圍成的區(qū)域、距離等)來進(jìn)行幾何論證。常用于求極植和值域(特別是求無理函數(shù)的)。
4其他類型
還可用于數(shù)列(特別是等差數(shù)例它的通項(xiàng)公式和前幾項(xiàng)和公式與直線二次曲線表達(dá)式很相似)、方程根的討論(用作圖法求交點(diǎn)個數(shù))和比較大小等問題上。代數(shù)問題的幾何建模策略遠(yuǎn)不止這些,很有挖掘的必要。
通過上述討論,不難發(fā)現(xiàn),代數(shù)問題本身的復(fù)雜性、開放性以及應(yīng)用者知識經(jīng)驗(yàn)是其局限性所在。盡管如此,它作為開發(fā)智力、鍛煉創(chuàng)造件思維能力,仍有特別的價值。
代數(shù)問題的幾何講法【2】
數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，且數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩種表達(dá)形式，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。
數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。
顯然數(shù)形結(jié)合，不是兩者簡單的堆砌，而是有機(jī)的結(jié)合，“數(shù)”具有精確性定特征，它可以闡明“形”的某些屬性，并且可以通過運(yùn)算法則、公式進(jìn)行運(yùn)算，比較具體(雖然有時卻比較繁復(fù))，“形”具有幾何的直觀性，它也可以表示數(shù)之間的某些關(guān)系，“形”可以通過邏輯推理得到一些結(jié)果，其推理過程較簡捷(但可能有時比較抽象)。
但兩者結(jié)合，各取所長，則往往威力巨大。
函數(shù)是貫穿數(shù)學(xué)知識的主要內(nèi)容，它的地位和作用非常重要，數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題時尤為重要。
函數(shù)的圖像是表示函數(shù)關(guān)系的方式之一，它是從“形”的方面來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。
利用一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本函數(shù)的圖像來解決代數(shù)問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化聯(lián)想能力、觀察能力，如利用某些函數(shù)表達(dá)式所具有的特征，與幾何中的距離、直線的斜率、線段的長度(兩點(diǎn)間的距離)等聯(lián)系在一起，構(gòu)造幾何模型解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性并提高創(chuàng)造性。
借助兒何圖形和函數(shù)圖象的直觀，去理解、記憶數(shù)學(xué)的概念和性質(zhì)，并用以解題，這在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個重要的思想方法，比如現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課本里，對三角函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，就是通過觀察它們的圖象，抽象得來的。
又如在教學(xué)中要想讓學(xué)生牢記30、45“、60“這兒個角的三角函數(shù)值，要求學(xué)生在理解銳角三角函數(shù)的定義基礎(chǔ)上去記憶，借助幾何直觀去解題，常常會達(dá)到事半功倍的效果。
如在學(xué)生學(xué)習(xí)正比例函數(shù)圖像時，先引導(dǎo)學(xué)生用“描點(diǎn)法”畫出一幅表示正比例函數(shù)的圖像，在描點(diǎn)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生把所描出的點(diǎn)與表中的數(shù)據(jù)相對照，讓學(xué)生初步理解圖像上各點(diǎn)所表示的實(shí)際意義，再通過觀察，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)所描出的這些點(diǎn)正好在一條直線上，清楚地認(rèn)識正比例函數(shù)圖像的特點(diǎn)，并借助直觀的圖像進(jìn)一步理解兩種量同時擴(kuò)大或縮小的變化規(guī)律，理解正比例函數(shù)的性質(zhì)。
畫出圖像后，進(jìn)一步認(rèn)識圖像上任意一點(diǎn)所表示的實(shí)際意義，初步體會正比例函數(shù)圖像的實(shí)際應(yīng)用。
通過正比例函數(shù)圖像與正比例函數(shù)關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，加深對正比例函數(shù)的理解。
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時要注意以下兩點(diǎn)：其一數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價性，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化前后的問題必須是等價的;其二，利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性，像判斷公共點(diǎn)個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化成圖形后要保證“數(shù)”的精確性，才能得出正確結(jié)論。
有些問題所對應(yīng)的圖形不唯一，要根據(jù)不同的情況畫出相應(yīng)的圖形后，再進(jìn)行討論求解。
總之，要讓學(xué)生真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識和熟練的基本技巧，如果教師只講解幾個典型習(xí)題并把學(xué)生講懂了，就認(rèn)為學(xué)生領(lǐng)會了數(shù)形結(jié)合這一思想方法，是片面的。
教師要有做好長期滲透的思想，平時要求學(xué)生認(rèn)真上好每一堂課，學(xué)好新教材的系統(tǒng)知識，掌握各種函數(shù)的圖像特點(diǎn)，理解各種幾何圖形的性質(zhì)。
教師講題時，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的具體情況，多角度的觀察和理解問題，揭示問題的本質(zhì)聯(lián)系，利用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計算，從而來解決問題。
教學(xué)中要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，通過多渠道來溝通知識間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并及時總結(jié)數(shù)形結(jié)合在解題中運(yùn)用的規(guī)律性，來訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提高理解和運(yùn)用的水平。
只有這樣，不斷提高、深化數(shù)形結(jié)合運(yùn)用的能力。
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