實習(xí)報告函數(shù)的發(fā)展歷程參考

　　小組成員：xxx

　　日期：20xx年9月24日

　　指導(dǎo)老師：xxx

　　一、 導(dǎo)入

　　從初中開始，我們就已經(jīng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸了函數(shù)。函數(shù)是中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個要點，同時對于實際生活也具有重要意義。為了更好地掌握函數(shù)知識，所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”，本小組對函數(shù)發(fā)展的歷史進(jìn)行了實習(xí)。

　　二、正文部分

　　1.早期函數(shù)概念──幾何觀念下的函數(shù)

　　十七世紀(jì)伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。

　　2.十八世紀(jì)函數(shù)概念──代數(shù)觀念下的函數(shù)

　　1718年約翰·貝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為

　　形式，包括代數(shù)式子和超越式子。

　　18世紀(jì)中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何，其在函數(shù)概念中所說的任一方式組成的解析表達(dá)式。他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運(yùn)算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

　　3.十九世紀(jì)函數(shù)概念──對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)

　　1822年傅里葉(Fourier，法，1768－1830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函

　　數(shù)的認(rèn)識又推進(jìn)了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時指出，雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達(dá)式，不過他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學(xué)家狄利克雷。

　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)�！钡依�克雷的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。

　　等到康托爾(Cantor，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。

　　4. 現(xiàn)代函數(shù)概念──集合論下的函數(shù)

　　1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數(shù)。其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”、“對應(yīng)”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合{{a}，}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合Ｎ確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。

　　函數(shù)概念的定義經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，20世紀(jì)40年代，物理學(xué)研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac－δ函數(shù)，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、測度及以上所述的Dirac－δ函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來。因此，隨著以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會繼續(xù)擴(kuò)展。

　　三、 總結(jié)

　　通過本次實習(xí)，本小組成員不僅對函數(shù)的概念有了更深刻的理解，而且增長了見識，增強(qiáng)了實踐能力。函數(shù)概念的產(chǎn)生，并不是一時一刻的靈感，而是經(jīng)過了一代有一代偉人們的不斷探索而成的。從某種意義上來說，它反映了人類對事物逐漸精確化的認(rèn)識過程�？傊�，函數(shù)是人類智慧的結(jié)晶，我們應(yīng)該學(xué)好函數(shù)知識。同時在學(xué)習(xí)中注意實踐，將函數(shù)與實踐結(jié)合，爭取做到活學(xué)活用。

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