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由兩道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題談泰勒公式及其應(yīng)用
泰勒公式，相信大家都耳熟能祥，下面小編就為大家?guī)?lái)關(guān)于由兩道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題談泰勒公式及其應(yīng)用的論文。歡迎數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的同學(xué)們借鑒哦!
摘要：本文通過(guò)對(duì)利用泰勒公式求解兩道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的分析，總結(jié)概括了泰勒公式在證明導(dǎo)數(shù)相關(guān)結(jié)論時(shí)的思考方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)掌握泰勒公式提供了一種有效幫助.
關(guān)鍵詞：泰勒公式;導(dǎo)數(shù);證明
一、引言
在高等數(shù)學(xué)中，泰勒公式作為微分中值定理的一種推廣，有著重要的應(yīng)用，它提供了一種用導(dǎo)數(shù)值多項(xiàng)式近似表示一般函數(shù)的方法。泰勒展開(kāi)為解決一些求解極限、判定級(jí)數(shù)斂散性、證明導(dǎo)數(shù)相關(guān)結(jié)論等問(wèn)題提供了一種非常有效的方法。但是在學(xué)習(xí)過(guò)程中，很多同學(xué)覺(jué)得泰勒公式在證明等式和不等式中的運(yùn)用比較難懂，特別是感覺(jué)技巧性太強(qiáng)，根本不會(huì)去聯(lián)想到答案中的方法，總感覺(jué)有些方法是空穴來(lái)風(fēng)。一般來(lái)說(shuō)，泰勒公式的證明是有一定難度的，證明確實(shí)是有一定技巧性的，但這種技巧也并不是無(wú)跡可尋的，大部分的證明題所要證的結(jié)論和題干中的信息還是很具有暗示性的，如果能敏銳地觀察到這些暗示信息，可能你就會(huì)找到突破口在哪里，焦點(diǎn)就在于這個(gè)泰勒公式展開(kāi)到底在什么點(diǎn)展開(kāi)，展開(kāi)到幾階的問(wèn)題。本文通過(guò)兩道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題分析泰勒公式在證明一些導(dǎo)數(shù)相關(guān)結(jié)論時(shí)的應(yīng)用，為學(xué)生學(xué)習(xí)掌握泰勒公式提供一種幫助。
二、泰勒公式進(jìn)行函數(shù)展開(kāi)的定理
定理1 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)此鄰域內(nèi)任意點(diǎn)x均有
f(x)=f(x )+f ′(x )(x-x )+ (x-x ) +…+ (x-x ) +R (x) (1)
且 R (x)= (x-x ) (ξ介于x 與x之間) (2)
(1)式稱(chēng)為函數(shù)f(x)在x=x 處的泰勒公式或泰勒展開(kāi)式，(2)式稱(chēng)為f(x)在x=x 處的拉格朗日余項(xiàng)。也可記R (x)=o(x-x ) ，稱(chēng)之為f(x)在x 處的皮阿諾余項(xiàng)。
特別地，在(1)式中令x =0則得到
f(x)=f(0)+f ′(0)x+ x +…+ x +R (x)
R (x)= x (ξ介于0與x之間)
稱(chēng)之為f(x)的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式。
應(yīng)用上面的定理可以將函數(shù)f(x)在一個(gè)合適的點(diǎn)x 展開(kāi)，從而完成關(guān)于一些導(dǎo)數(shù)結(jié)論的證明。下面從兩道競(jìng)賽題來(lái)看。
三、兩道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
例1(第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-1，1]上具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0，f(1)=1，f ′(0)=0，求證在開(kāi)區(qū)間(-1，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x ，使得f ?蓯(x )=3.
分析 結(jié)論是關(guān)于存在性的證明，并且是關(guān)于三階導(dǎo)數(shù)，從而可以想到是應(yīng)用泰勒公式，而且最好展開(kāi)最高階導(dǎo)數(shù)到三階.題目條件中給出了函數(shù)在0點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值，從而我們可以考慮將函數(shù)在0點(diǎn)展開(kāi)，即考慮函數(shù)f(x)的麥克勞林展開(kāi)式。結(jié)論中只出現(xiàn)了三階導(dǎo)數(shù)，從而展開(kāi)式中的前三項(xiàng)肯定經(jīng)過(guò)適當(dāng)處理化簡(jiǎn)掉。若注意到條件f(-1)=0，f(1)=1應(yīng)該就不難想到是將點(diǎn)-1，1帶入展開(kāi)式中，兩式相減即可。詳細(xì)證明如下：
證 將函數(shù)f(x)應(yīng)用麥克勞林公式展開(kāi)，得
f (x)=f (0)+f ′(0)x+ x + x ，ξ介于0與x之間，x∈[-1，1]
在上式中分別取x=1和x=-1，再由f ′(0)=0得
1=f(1)=f(0)+ f ″(0)+ f ?蓯(ξ )，0<ξ <1
0=f(-1)=f(0)+ f ″(0)+ f ?蓯(ξ )，-1<ξ <0
上面兩式相減，得
f ?蓯(ξ )+f ?蓯(ξ )=6
由于f ?蓯(x)在閉區(qū)間[-1，1]上連續(xù)，因此f ?蓯(x)在閉區(qū)間[ξ ，ξ ]上有最大值M和最小值m，從而
m≤ (f ?蓯(ξ )+f ?蓯(ξ ))≤M
再由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，至少存在一點(diǎn)x ∈[ξ ，ξ ]?奐(-1，1)，使得
f(x )= (f ?蓯(ξ )+f ?蓯(ξ ))=3
例2(第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽)設(shè)f∈C (-∞，∞)，
f(x+h)=f(x)+f ′(x)h+ f ″(x+θh)h
其中θ是與x，h無(wú)關(guān)的常數(shù)，證明f是不超過(guò)三次的多項(xiàng)式。
分析 結(jié)論表面看起來(lái)與導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)，但是證明f是不超過(guò)三次的多項(xiàng)式，我們很容易想到只要說(shuō)明f的四階導(dǎo)數(shù)等于零即可。另外條件已經(jīng)出現(xiàn)了f(x+h)的泰勒公式，我們自然也就會(huì)沿著這一思路進(jìn)行分析。但是條件只是展開(kāi)到二階導(dǎo)數(shù)，而證明我們的結(jié)論需要四階導(dǎo)數(shù)，從而我們可以重新對(duì)函數(shù)f(x+h)進(jìn)行四階泰勒展開(kāi).之后想法說(shuō)明f的四階導(dǎo)數(shù)等于零。詳細(xì)證明如下： 證 將f(x+h)在x點(diǎn)處泰勒展開(kāi)
f(x+h)=f(x)+f ′(x)h+ f ″(x)h + f ?蓯(x)h + f (ξ)h ①
其中ξ介于x與x+h之間。
再將f ″(x+θh)在x點(diǎn)處泰勒展開(kāi)
f ″(x+θh)=f ″(x)+f ?蓯(x)θh+ f (η)θ h ②
其中η介于x與x+θh之間。
由上面①②式及已知條件f(x+h)=f(x)+f ′(x)h+
f ″(x+θh)h 可得
4(1-3θ)f ?蓯(x)=[6f (η)θ -f (ξ)]h
當(dāng)θ≠ 時(shí)，令h→0得f ?蓯(x)=0，此時(shí)f是不超過(guò)二次的多項(xiàng)式;
當(dāng)θ= 時(shí)，有 f (η)=f (ξ)，令h→0，此時(shí)ξ→x，η→x，有f (x)=0
從而f是不超過(guò)三次的多項(xiàng)式。
四、應(yīng)用舉例
關(guān)于導(dǎo)數(shù)結(jié)論的證明的題目一般分為關(guān)于存在性和關(guān)于任意性的證明兩類(lèi)。由上面兩道競(jìng)賽題來(lái)看，使用泰勒公式時(shí)關(guān)鍵是確定出對(duì)哪個(gè)函數(shù)在哪一點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，展開(kāi)到幾階導(dǎo)數(shù)。一般來(lái)講，題目中有若有關(guān)于某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的信息，或者哪個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值比較好確定，就將函數(shù)在這一點(diǎn)展開(kāi)，若有給定點(diǎn)的函數(shù)值，就將這點(diǎn)代入展開(kāi)式。下面我們?cè)偻ㄟ^(guò)兩道例題進(jìn)行分析。
例3 設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0， f(x)=-1，證明：存在η∈(0，1)使得f ″(η)≥8.
分析 結(jié)論仍然是關(guān)于存在性的證明，并且是關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)，所以可以考慮將函數(shù)泰勒展開(kāi)到二階導(dǎo)數(shù)。給出了最小值，且可確定該點(diǎn)是內(nèi)點(diǎn)，那么該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)必然為0，自然考慮將函數(shù)在該點(diǎn)展開(kāi)，然后代人0，1點(diǎn)的值進(jìn)行分析。詳細(xì)證明如下：
證 由條件知存在x ∈(0，1)使得f(x )=-1為f(x)在[0，1]上的最小值，且f ′(x )=0
將f(x)在點(diǎn)x 處泰勒展開(kāi)
f(x)=f(x )+f ′(x )(x-x )+ (x-x ) (ξ介于x 與x之間)
再由f(0)=f(1)=0可得
0=f(0)=-1+ x (ξ 介于x 與0之間)
0=f(1)=-1+ (1-x ) (ξ 介于x 與1之間)
所以，f ″(ξ )= ，f ″(ξ )=
又因?yàn)閤 ∈(0，1)，所以
f ″(η)=max ， ≥ =8 η∈(0，1)
五、結(jié)束語(yǔ)
作為高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，泰勒公式是一些學(xué)歷考試及競(jìng)賽的重點(diǎn)及難點(diǎn)。關(guān)于泰勒公式在極限求解、級(jí)數(shù)斂散性的判定及近似計(jì)算方面的應(yīng)用已有非常多的介紹，本文重點(diǎn)分析介紹了其在關(guān)于導(dǎo)數(shù)證明方面的應(yīng)用，歸納出了在證明此類(lèi)問(wèn)題時(shí)的分析思路，為學(xué)生學(xué)習(xí)掌握泰勒展開(kāi)這一工具方法提供了一種非常有效的幫助。
參考文獻(xiàn)：
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[2]陳兆斗，鄭連存，王輝，等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題精講[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010：124-126.
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