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初等微積分與中學(xué)數(shù)學(xué)
下面是一篇關(guān)于初等微積分與中學(xué)數(shù)學(xué)的論文,對(duì)正在寫有關(guān)數(shù)學(xué)論文的寫作者有一定的參考價(jià)值和指導(dǎo)作用!
摘要：初等微積分作為高等數(shù)學(xué)的一部分，屬于大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容。在新課程背景下，幾進(jìn)幾出中學(xué)課本�？梢�(jiàn)初等微積分進(jìn)入中學(xué)是利是弊已見(jiàn)分曉，其重要性不言而喻。但對(duì)很多在崗教師而言，還很陌生，或是理解不透徹。這樣不利于這方面的教學(xué)。我將對(duì)初等微積分進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)背景，作用及教學(xué)作簡(jiǎn)單研究.
關(guān)鍵詞：微積分;背景;作用;函數(shù)
一、微積分進(jìn)入高中課本的背景及必要性
在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，自從牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建微積分以來(lái)，數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題都得以解決。微積分已成為我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的知識(shí)。其在經(jīng)濟(jì)、物理等領(lǐng)域的大量運(yùn)用也使之成為解決生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具。但牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的微積分為“說(shuō)不清”的微積分，也就是連他們自己也說(shuō)不清微積分的理論依據(jù)，只是會(huì)應(yīng)用。這使得很多人學(xué)不懂微積分，更不用說(shuō)讓中學(xué)生來(lái)學(xué)習(xí)微積分。
柯西和維爾斯特拉斯等建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論，鞏固了微積分基礎(chǔ)，這是第二代微積分，但概念和推理繁瑣迂回，對(duì)高中生更是聽(tīng)不明白。近十年來(lái)，在大量的數(shù)學(xué)家如：張景中，陳文立，林群等的不懈努力下，第三代微積分出現(xiàn)了相比前兩代說(shuō)得清楚，對(duì)高中生而言，也更容易理解。這為其完全進(jìn)入高中課本奠定了基礎(chǔ)。從內(nèi)容來(lái)看，新一輪的課改數(shù)學(xué)教材在微積分部分增加了定積分的 概念及應(yīng)用(求曲邊梯形面積，旋轉(zhuǎn)體體積，以及在物理中的應(yīng)用)，可能考慮到中學(xué)生的認(rèn)知能力，人教版新教材與北師大版在這方面有所不同。即利用定積分求簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體體積在北師大版教材中出現(xiàn)了，但人教版沒(méi)有。
從課標(biāo)和考試大綱(參考2011年高考考試大綱)上看，初等微積分所占比重也是越來(lái)越重�；仡櫄v屆高考，微積分相關(guān)題型分值越來(lái)越高。但就我個(gè)人觀點(diǎn)，初等微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用還沒(méi)有真正全面發(fā)揮。我認(rèn)為，它是學(xué)生中學(xué)數(shù)學(xué)和教師教學(xué)的一條線索，它是我們研究中學(xué)函數(shù)問(wèn)題的統(tǒng)一方法，也是聯(lián)系中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的紐帶!
二、微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用
1.銜接性與后繼作用。微積分本是大學(xué)高等數(shù)學(xué)范疇，是大學(xué)開(kāi)設(shè)的課程。讓現(xiàn)在中學(xué)生提前學(xué)習(xí)部分微積分知識(shí)，這便為其以后升入大學(xué)學(xué)習(xí)微積分打下良好的基礎(chǔ)，這也使數(shù)學(xué)知識(shí)從小學(xué)到大學(xué)從內(nèi)容上銜接得更加緊密。也不會(huì)再出現(xiàn)很多大學(xué)生認(rèn)為的大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中沒(méi)有任何作用的觀點(diǎn).
2.解決數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的作用。高中數(shù)學(xué)函數(shù)在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，不論從高考所占比重還是自身難度來(lái)說(shuō)都應(yīng)該排在首位。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)永遠(yuǎn)是最難學(xué)的，得分率也相對(duì)比較低。很多學(xué)生討厭數(shù)學(xué)就是討厭函數(shù)，提到數(shù)學(xué)中的函數(shù)就頭暈。由于應(yīng)試教育的關(guān)系，學(xué)生又不得不學(xué)習(xí)函數(shù)，而函數(shù)思想本身也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條線索。微積分的進(jìn)入對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)問(wèn)題找到了統(tǒng)一的方法。高中階段我們所研究的函數(shù)問(wèn)題一般是以一些基本初等函數(shù)為媒介研究函數(shù)的定義，圖像和性質(zhì)，當(dāng)然也有應(yīng)用。但隨著課改的深入，函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題逐漸在淡化。而初等微積分知識(shí)即研究函數(shù)的重要工具，如：微積分可以求函數(shù)的單調(diào)性，最值。最重要的是它可以畫出函數(shù)的圖像，其實(shí)，當(dāng)函數(shù)圖像畫好后，幾乎函數(shù)所有性質(zhì)都可以解決。學(xué)生只要學(xué)好微積分便掌握了研究函數(shù)的統(tǒng)一方法，那么高中階段的二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等所有初等函數(shù)的學(xué)習(xí)就可以統(tǒng)一，既節(jié)約了教學(xué)時(shí)間又學(xué)習(xí)了先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想。對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。我相信還可以激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。另外，在高中階段，初等微積分還可以解決不等式問(wèn)題，求二次曲線的切線問(wèn)題，求曲邊梯形的面積等很多數(shù)學(xué)問(wèn)題。利用微積分不僅可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，并能使問(wèn)題的研究更為深入、全面。
3.提高數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的應(yīng)用能力。作為自然學(xué)科的數(shù)學(xué)本身已應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)、技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域。而作為中學(xué)數(shù)學(xué)，它對(duì)中學(xué)其它學(xué)科的推動(dòng)作用也是毋庸置疑的。如物理，化學(xué)，地理等學(xué)科也離不開(kāi)數(shù)學(xué)。在高中階段往往會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)的教學(xué)進(jìn)度而影響其它學(xué)科的進(jìn)度。如地理中要學(xué)習(xí)地球的經(jīng)度，緯度等知識(shí)就需要先學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中球體相關(guān)知識(shí)和解三角形相關(guān)知識(shí)。當(dāng)微積分進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)后，數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科的作用就更加重要了。特別像物理中勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移，瞬時(shí)速度，加速度等問(wèn)題利用微積分的導(dǎo)數(shù)求解起來(lái)更加簡(jiǎn)單，容易理解。新課程人教版數(shù)學(xué)教材選修2-2中專門加入了利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一節(jié)。另外，微積分解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題也進(jìn)入中學(xué)課本�？梢�(jiàn)，微積分進(jìn)入中學(xué)教材，對(duì)促進(jìn)學(xué)科間知識(shí)的整合起到了至關(guān)重要的作用。
三、國(guó)際上一些教材對(duì)微積分知識(shí)的處理
以蘇聯(lián)中學(xué)為例，蘇聯(lián)中小學(xué)為十年制，從九年級(jí)(1)(相當(dāng)于我國(guó)高中一年級(jí))中講了數(shù)學(xué)歸納法和排列組合以后，就介紹無(wú)窮數(shù)列和極限。然后介紹函數(shù)極限和導(dǎo)數(shù)，所有這些都在講解三角函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之前。隨即介紹導(dǎo)數(shù)在近似計(jì)算，幾何(求切線)和在物理中的應(yīng)用(研究速度，加速度)以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中得應(yīng)用(求函數(shù)極值，最值，單調(diào)性等)。到九年級(jí)末及十年級(jí)(2)再講三角函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)可以研究三角函數(shù)的性質(zhì)。然后介紹不定積分和定積分。接著在指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)一章介紹指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用反函數(shù)求得對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。在十年級(jí)(3)中利用微積分知識(shí)研究幾何問(wèn)題，用積分推導(dǎo)錐體，球體等的體積公式。還把球的表面積定義為球的體積V(R)對(duì)R的導(dǎo)數(shù)，從而立即求得球的表面積公式�？梢�(jiàn)，蘇聯(lián)課本中及早分散引入導(dǎo)數(shù)及積分的概念和計(jì)算，而不是到最后整塊講解。這樣處理，可以使微積分知識(shí)結(jié)合研究函數(shù)問(wèn)題，幾何問(wèn)題以及研究物理問(wèn)題中都得到應(yīng)用。
當(dāng)然，還有比如臺(tái)灣中學(xué)教材對(duì)微積分處理和我過(guò)現(xiàn)行教材區(qū)別不大，就不再介紹。而上訴對(duì)微積分的處理情況是一種在歐洲中學(xué)教材中較普遍的處理方式。其優(yōu)點(diǎn)主要就是充分發(fā)揮了微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。使中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)更加連貫，更加易懂!
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