初等數(shù)論的有效教學法

　　初等數(shù)論的有效教學法【1】

　　【摘要】高等師范學校小學教育專業(yè)的數(shù)學類課程設置的目標是為了培養(yǎng)合格的小學數(shù)學教師.為了在初等數(shù)論的教學中突出師范教育的特色，本文從三個方面探索了初等數(shù)論的有效教學法.

　　【關鍵詞】初等數(shù)論;有效教學法

　　高等師范學校小學教育專業(yè)的數(shù)學類課程設置的目標是為了培養(yǎng)合格的小學數(shù)學教師，而初等數(shù)論的最基本的內容一直是小學數(shù)學的基礎內容之一.作為一名數(shù)學教師，站在教學要游刃有余的角度上是必須掌握基本的初等數(shù)論知識的.為了在初等數(shù)論的教學中突出師范教育的特色，本文根據(jù)作者自身的教學實踐，從三個方面探索了初等數(shù)論的有效教學法.

　　一、在初等數(shù)論教學中滲透小學數(shù)學教學法

　　高等師范學校的小學教育專業(yè)培養(yǎng)的是將來要從事小學教育的數(shù)學教師.而初等數(shù)論中的一些基本知識在小學數(shù)學教學中的用途是十分廣泛的，在初等數(shù)論的課堂教學中注重與小學數(shù)學教育結合起來，滲透小學數(shù)學的教學方法，提高學生的教學能力顯得尤為重要.因此，與小學數(shù)學聯(lián)系緊密的內容要放慢節(jié)奏詳細講解.

　　整除的數(shù)字特征是與小學數(shù)學教學密切相關的內容，許多時候需要學生直接借助概念進行思維，而對于以形象思維為主的小學生來說，這部分內容是難點.初等數(shù)論的教材中需要利用同余的知識來證明整除的數(shù)字特征，而這在小學數(shù)學教學中顯然是不適用的，小學生大多還沒有接觸過同余的知識，那在課堂上應該如何引導小學生來理解這些整除的數(shù)字特征呢?這需要教師對整除的性質有一個全面的了解.

　　在課堂教學中滲透小學數(shù)學的教學方法可以使學生比較扎實地在較高層次上掌握小學數(shù)學的一些知識，進而提高學生的數(shù)學教學能力.

　　二、在初等數(shù)論教學中補充小學數(shù)學競賽題

　　初等數(shù)論教材中有許多古代數(shù)學名題，如“百雞問題”“雞兔同籠”等都是小學數(shù)學的趣味題，容易引起學生的學習興趣.在初等數(shù)論的相關章節(jié)中可以適當補充一些小學數(shù)學競賽試題.例如，介紹帶余除法時可以舉例：

　　“某數(shù)除以3余2，除以4余1，該數(shù)除以12余幾?”介紹奇偶分析時列舉幾個大家熟知的“翻茶杯”“放硬幣”“報數(shù)游戲”等富有生活情趣的小學競賽題.介紹最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時可以補充如下例題：一塊長方形地，長24871厘米，寬3468厘米，要截成若干個同樣大小正方形的地塊，不能有剩余且正方形的邊長要盡可能的大.問：這樣的正方形邊長是多少厘米?

　　在講授求解不定方程的內容時，給出如下充滿生活氣息的應用題：(1)150個乒乓球，分裝在大、小兩種盒子里，大盒裝12個球，小盒裝7個球，問：需要大、小盒子各多少個才能恰好把這些球裝完?(2)某人打靶，8發(fā)打了53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)上，問：他命中10環(huán)、7環(huán)、5環(huán)各幾發(fā)?在講質因數(shù)分解定理的應用時，舉例：如果935×972×975×__________結果末4位為0，__________中最小填什么數(shù)?在同余的應用時，舉例：今天星期四，再過4734天是星期幾?

　　在進行課堂講授時結合小學數(shù)學教會學生解題方法，讓學生體會到解題的樂趣，深刻體會到初等數(shù)論是一門非常有用的課程.如果能再介紹一些與小學數(shù)學有關的趣味史料，則效果更佳.

　　三、在初等數(shù)論教學中培養(yǎng)學生的授課能力

　　師范學校小學教育專業(yè)擔負著培養(yǎng)小學數(shù)學教師的重任，因此初等數(shù)論的課堂教學應加強學生理論知識的掌握，致力于學生數(shù)學素質的培養(yǎng).初等數(shù)論教材中的部分內容，如整除的概念與性質、質數(shù)與合數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、公因數(shù)與公倍數(shù)、同余等知識，其他課程中已有涉及，學生已有一定的了解，只是在初等數(shù)論教材中把它們進一步理論化、系統(tǒng)化而已，在講授這些內容時可以讓學生在自學的基礎上，分組討論后嘗試寫出教案，再選出一兩名代表上臺講授，然后由學生自己對這節(jié)課的教學內容和方法進行評論，最后由教師進行總結、補充和點撥，尤其要注重學生的課堂講課與課后評論這兩個環(huán)節(jié).

　　這樣的教學，不但能激發(fā)學生學習初等數(shù)論的興趣和積極性，更能提高學生的授課能力，為學生以后走上講臺提供了一個很好的展示平臺，可謂一舉兩得.而其他與小學教學聯(lián)系不太緊密的內容可以粗略地講，尤其是太高深的數(shù)論理論，對小學教育專業(yè)的學生不必要求太高，否則會使學生望而卻步.

　　要教好初等數(shù)論這門課，教師在備課過程中要認真鉆研教材，充分利用網(wǎng)絡資源，在課堂教學中針對師范學校的培養(yǎng)目標，突出師范教育的特色，滲透小學數(shù)學教學方法，引入小學數(shù)學競賽題目，并讓學生嘗試教學提高授課能力，使學生在初等數(shù)論的課堂上能學有所得，收獲學習知識的快樂.

　　【參考文獻】

　　[1]瀟湘數(shù)學教育工作室.站在皇冠頂上看風景(二)——數(shù)學教師要掌握一點初等數(shù)論知識[J].湖南教育(下)，2011(5).

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　　[3]王麗敏，王麗麗.淺談初等數(shù)論的教學改革[J].安陽師范學院學報，2011.

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　　[5]沈利玲.提高小學教育專業(yè)初等數(shù)論課的教學效果[J].赤峰學院學報(自然科學版)，2010(12).

　　初等數(shù)論課程教學的改進【2】

　　摘 要：初等數(shù)論是大學本科數(shù)學的專業(yè)基礎課，但長期得不到足夠的重視。

　　究其原因，除其內容相對簡單不受師生重視外，也有課程設置不科學和課堂教學方式方法陳舊等因素。

　　本文旨在改進教學方法，闡述課堂教學中的經(jīng)驗心得。

　　歸根結底，就是在備課和課堂教學的設計上下工夫，取得理想的教學質量。

　　關鍵詞：初等數(shù)論;教學方法;改進

　　初等數(shù)論是數(shù)學專業(yè)本科階段代數(shù)系列課程中的一門，與高等代數(shù)和近世代數(shù)等已得到普遍重視的情況相比，初等數(shù)論課程的重要性尚未得到充分的認識，主要體現(xiàn)在課程設置不科學、教學方法陳舊等方面，由此導致教學效果差，教學質量無法提高等諸多問題。

　　那么，如何改進初等數(shù)論課程的教學、改善教學效果，從而提高教學質量?本文僅就教學實踐從兩個方面談談這一問題。

　　一、在思想上給予初等數(shù)論以足夠的重視

　　初等數(shù)論是一門古老的學科，主要研究數(shù)的性質和方程的整數(shù)解，是中等數(shù)學中數(shù)的理論的繼續(xù)和提高，是中學數(shù)學與大學數(shù)學的最好銜接。

　　盡管其使用的方法是初等的，但應該看到其很多內容及思想為高等代數(shù)和近世代數(shù)做了很好的鋪墊，提供了抽象理論的具體實例。

　　初等數(shù)論為后續(xù)的代數(shù)提供了一個樣板，很多理論都要推廣到更一般的情形上去。

　　在整數(shù)集這個熟悉的領域中體會好代數(shù)的思想和方法，為將來學習和研究的提升做準備。

　　更為重要的是目前RSA公鑰體制和離散對數(shù)體制均來自初等數(shù)論，并且正在不斷采用數(shù)論更為高深的理論成果[1]。

　　這反映出初等數(shù)論在實踐應用上的價值。

　　既然初等數(shù)論課程如此重要，那么一些高校數(shù)學專業(yè)為什么會不重視這門課程?最根本的原因在于這門課程內容表面上相對淺顯，教學單位沒有從科學的角度來審視初等數(shù)論在大學數(shù)學教學中的真實作用，低估了它存在的價值，他們認為大學數(shù)學應當講授更為抽象的問題，初等數(shù)論的存在比較尷尬，因此，在課程設置上不夠突出這門課程的地位。

　　不但沒有將之安排在大一的第一學期講授，而且有的將其由專業(yè)必修課改成大三講授的選修課。

　　這種錯誤的課程設置，抹殺了初等數(shù)論這門課銜接中學與大學數(shù)學教學的橋梁作用。

　　此外，大三學生面對相對淺顯的數(shù)論課程，也確實提不起興趣，進而影響到教師對這門課程的備課、授課的重視程度。

　　這種情況馮克勤先生曾經(jīng)撰文提到過，并且闡述了大一新生開設初等數(shù)論課程的理由和積極意義[2]。

　　遺憾的是十幾年過去了，仍沒有得到廣泛的重視。

　　現(xiàn)在，我們采納馮先生的建議尚不算晚，應當在具體的教學計劃上做出切實的調整，以便更好地發(fā)揮初等數(shù)論在大學數(shù)學學習與教學中的作用，進而使之在應用領域能為人熟練地應用，實現(xiàn)這門課程的價值。

　　教師在教學實踐上的重視程度和履行情況也至關重要。

　　教師不但要積極講授這門課程，而且還要下一番心思認真準備，設計好課堂教學環(huán)節(jié)，怎樣開始，怎樣展開，結尾應強調什么，知識點和相關學科知識的聯(lián)系等，這些環(huán)節(jié)都極為重要。

　　教師投入熱情，自然就會帶動學生的熱情，師生互動達成，取得良好的教學效果便水到渠成。

　　備課充分與否，教師和學生都能體會得到。

　　二、改進傳統(tǒng)的教學方法

　　傳統(tǒng)的教學方法主要集中于教師課堂講授演算、隨時提問的方式。

　　這種方式立足于教材本身，緊緊圍繞教學大綱，中規(guī)中矩，對數(shù)學專業(yè)課程的講授而言有它的優(yōu)勢。

　　對初等數(shù)論來說，情況就不同了。

　　上文所言，不科學的課程設置，實際上是將初等數(shù)論這門課程置于比較尷尬的地位。

　　其內容簡單，又在大三開設，甚至屬于選修課程。

　　帶來的結果是聽課的人少，學生和老師的情緒互相影響。

　　學生認為沒什么可聽的，過于簡單;教師認為學生一看都懂，講起來也沒什么意思，雙方的情緒都不高。

　　這便要求我們必須立足于這門課程在整個大學數(shù)學教學中的實際地位，采取相應的更為靈活的教學方式來改變這種狀況。

　　我們通過具體的教學實踐，總結了以下一些方法。

　　(一)增加與基本定義及定理相關內容的介紹

　　在課堂教學中，對基本定義及定理的背景、來源、研究動機、目的與其應用的講解是必要的。

　　要讓學生明白為什么要講這些內容，它們如何得來，有何應用。

　　如講質數(shù)問題，就要提及整數(shù)。

　　整數(shù)是最先接觸的數(shù)集，都以為整數(shù)是最基本的數(shù)，但中國古代數(shù)學家把質數(shù)叫做“數(shù)根”，意思是數(shù)的根本。

　　因為任何整數(shù)或者是質數(shù)，或者是幾個質數(shù)的積。

　　古希臘時代的偉大數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中就已經(jīng)給出質數(shù)的若干性質。

　　歐幾里得給出算術基本定理在普通整數(shù)中的證明，后來高斯在復整數(shù)集{a+bi|a，b均為整數(shù)}中得出證明。

　　高斯曾經(jīng)在《算術探究》提過：“區(qū)分質數(shù)和合數(shù)，并且將合數(shù)分解成質因子，是算術中最重要又最有意義的問題。”高斯明確指出了質數(shù)的重要性。

　　今天，質數(shù)理論不僅在理論上，而且在應用上日益重要。

　　基于大數(shù)分解方案的公開密鑰體制在信息安全領域的應用就是一個最好的證明。

　　把以上的相關內容向學生做一個簡略的介紹，一方面，豐富了質數(shù)問題的知識含量，另一方面強調了質數(shù)問題的重要性。

　　不但從數(shù)學史的角度深化了學生對質數(shù)的理解，而且調動了學生學習的積極性。

　　數(shù)學史方面的適度滲透，我們在教學實踐中經(jīng)常會用到，效果良好。

　　(二)盤點每堂課的主要內容，要求學生多練習

　　課堂上可能學了很多東西，學生能消化吸收多少?一個學期下來學生又記住了什么?我們自己要經(jīng)常問自己，更要經(jīng)常問學生。

　　換言之，即要求學生每堂課過后要關注教師的總結，也要自己去總結。

　　課堂上會有一些具體細致的計算與證明，這對領會這門學科的基本方法是必要的，但不能過于執(zhí)著細的方面，以至于只記得怎樣做，而忘了要做什么和為什么要做。

　　要注重講系統(tǒng)的方法，并展示這些方法可以解決什么問題，同時說明為解決另一些數(shù)學問題還需要進一步發(fā)展數(shù)學。

　　可以在每次課的結尾盤點當天的主要內容以加深印象。

　　但一定要要求學生課下動手做，要多練習，使其具備一定的基本功。

　　學期末，教師要向學生盤點這門課程的重點內容。

　　初等數(shù)論都能讓我們想到什么，哪些是這門課程的精髓。

　　初等數(shù)論的重點是算數(shù)基本定理、中國剩余定理、模n的剩余類、歐拉定理(費馬定理)、高斯二次互反律等。

　　(三)營造良好的課堂氛圍

　　相對而言，初等數(shù)論這門課內容簡單，易于達成師生間的良性溝通，營造出活躍的課堂氛圍。

　　但不同授課內容，學生的反應會有所不同。

　　有時學生會對某個問題較為敏感，思維也比較活躍，能夠積極思維并參與討論，帶動其他同學，帶動整個課堂氣氛，這樣的教學效果肯定是好的。

　　有時學生會對接受的內容產(chǎn)生諸多疑問，因此，表面上課堂并不活躍，大家都在默默地、積極地思考，沉浸在一種數(shù)學的氛圍之中。

　　這種課堂氛圍同樣能達到理想的授課效果。

　　(四)調動學生參與到應用數(shù)論解決簡單的實踐活動中去

　　初等數(shù)論課是一門可以充分展示學生個性的課。

　　作業(yè)中會發(fā)現(xiàn)對同一個題目，他們可能有很多種做法，應該對他們給予鼓勵，使他們有成就感，進一步提高學生學習的積極性。

　　另外，數(shù)論課還可以讓學生編一些解決問題的算法。

　　比如，編程解決素數(shù)判定(當然是適當大的數(shù)以內的)、最大公因數(shù)的求解、一次同余式的求解。

　　在全班同學范圍內編一個密鑰表來模仿公開密鑰體制給學生發(fā)加密信息等。

　　可以讓學生互相比較誰的算法好、速度快，這些既鍛煉了學生的編程能力，又提高學生的學習興趣，同時也培養(yǎng)學生自主學習的能力。

　　除了上述四個方面外，我們還針對教學中的具體情況采取一些方法。

　　如針對不同層次學生的需求，如何做到因材施教的問題。

　　這是涉及既能保證普遍的教學質量，又能注重優(yōu)秀學生培養(yǎng)的一個老問題[3]。

　　有的學生天賦好、基礎好，常常會有與眾不同的想法、問題，要積極引導他們，鼓勵他們多讀書，讀好書。

　　鼓勵他們就感興趣的問題查閱文獻資料，這可能同時涉及其他課程、其他學科，也能拓展他們的知識面，讓他們感受到數(shù)學的應用以及學科之間的關聯(lián)。

　　在初等數(shù)論課堂教學改進的過程中，我們發(fā)現(xiàn)利用這門課程的教學適時地向學生滲透數(shù)學的某些思想是有效果的。

　　通過這門課程的教與學，很多學生都明白了數(shù)學教學的過程是教師引導他們學習前人得到的概念、定理及方法的過程。

　　這些理論的敘述都是倒敘式的，與前人得到的順序是相反的。

　　師生雖然不能完全模擬當年數(shù)學家的思維過程，也應盡量一起分析這個問題的產(chǎn)生、可能的解決思路，最終方法的確定，一同回味和享受這個過程。

　　這一過程對他們更好地理解理論、體會思想、學習方法、培養(yǎng)興趣都是非常重要的。

　　另外，這樣做有利于培養(yǎng)學生學習的研究能力[4]。

　　記得有一位老師說過，基礎課教學的探討永無止境。

　　我們只能探索、改進、再探索、再改進。

　　參考文獻：

　　[1]馮克勤.高校代數(shù)教學的一些實踐與思考[C]//大學數(shù)學課程報告論壇論文集.北京：高等教育出版社，2005：49-52.

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　　[3]曹重光.高等代數(shù)課程建設與改革[J].中國科教創(chuàng)新導刊，2008，(29).

　　[4]曹重光，張顯，唐孝敏，生玉秋.高等代數(shù)課程建設與改革[J].黑龍江教育：高教研究與評估，2005，(7).

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