微分方程應(yīng)用舉例

　　微分方程應(yīng)用舉例【1】

　　摘 要：通過舉例給出了微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用，從而使學(xué)生易于理解和掌握微分方程概念及理論。

　　關(guān)鍵詞：微分方程 應(yīng)用

　　微分方程指的是，聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式子。

　　微分方程是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是一門與實(shí)際聯(lián)系較密切的一個(gè)內(nèi)容。

　　在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)領(lǐng)域中，例如化學(xué)，生物學(xué)，自動(dòng)控制，電子技術(shù)等等，都提出了大量的微分方程問題。

　　在實(shí)際教學(xué)過程中應(yīng)注重實(shí)際應(yīng)用例子或應(yīng)用背景，使學(xué)生對(duì)所學(xué)微分方程內(nèi)容有具體地，形象地認(rèn)識(shí)，從而激發(fā)他們強(qiáng)大的學(xué)習(xí)興趣。

　　1 應(yīng)用問題舉例

　　1.1 生態(tài)系統(tǒng)中的弱肉強(qiáng)食問題

　　在這里考慮兩個(gè)種群的系統(tǒng)，一種以另一種為食，比如鯊魚(捕食者)與食用魚(被捕食者)，這種系統(tǒng)稱為“被食者—捕食者”系統(tǒng)。

　　Volterra提出：記食用魚數(shù)量為，鯊魚數(shù)量為，因?yàn)榇蠛５馁Y源很豐富，可以認(rèn)為如果，則將以自然生長(zhǎng)率增長(zhǎng)，即。

　　但是鯊魚以食用魚為食，致使食用魚的增長(zhǎng)率降低，設(shè)降低程度與鯊魚數(shù)量成正比，于是相對(duì)增長(zhǎng)率為。

　　常數(shù)，反映了鯊魚掠取食用魚的能力。

　　如果沒有食用魚，鯊魚無法生存，設(shè)鯊魚的自然死亡率為，則。

　　食用魚為鯊魚提供了食物，致使鯊魚死亡率降低，即食用魚為鯊魚提供了增長(zhǎng)的條件。

　　設(shè)增長(zhǎng)率與食用魚的數(shù)量成正比，于是鯊魚的相對(duì)增長(zhǎng)率為。

　　常數(shù)>0，反映了食用魚對(duì)鯊魚的供養(yǎng)能力。

　　所以最終建立的模型為：

　　這就是一個(gè)非線性的微分方程。

　　1.2 雪球融化問題

　　有一個(gè)雪球，假設(shè)它是一個(gè)半徑為r的球體，融化時(shí)體積V的變化率與雪球的表面積成正比，比例常數(shù)為>0，則可建立如下模型：

　　1.3 冷卻(加熱)問題

　　牛頓冷卻定律具體表述是，物體的溫度隨時(shí)間的變化率跟環(huán)境的的溫差成正比。

　　記T 為物體的溫度，為周圍環(huán)境的溫度，則物體溫度隨時(shí)

　　2 結(jié)語

　　文中通過舉生態(tài)系統(tǒng)中弱肉強(qiáng)食問題，雪球融化及物理學(xué)中冷卻定律問題為例給出了微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用。

　　在講解高等數(shù)學(xué)微分方程這一章內(nèi)容時(shí)經(jīng)常舉些應(yīng)用例子，能引起學(xué)生對(duì)微分方程的學(xué)習(xí)興趣，能使學(xué)生易于理解和掌握其基本概念及理論，達(dá)到事半功倍之效。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] 王嘉謀，石林.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2012.

　　[2] 王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2000.

　　[3] 齊歡.數(shù)學(xué)建模方法[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1996.

　　微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用【2】

　　【摘 要】微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，它在科技、教育、經(jīng)濟(jì)管理、生態(tài)、環(huán)境、人口、交通等各個(gè)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。

　　在許多實(shí)際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。

　　本文主要從交通紅綠燈模型和市場(chǎng)價(jià)格模型來論述微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

　　【關(guān)鍵詞】微分方程;數(shù)學(xué)建模;交通紅綠燈模型;市場(chǎng)價(jià)格調(diào)整模型

　　數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)方法解決各種實(shí)際問題的橋梁，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用日益廣泛，數(shù)學(xué)建模的作用越來越重要，而且已經(jīng)應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。

　　用微分方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型——微分方程。

　　這首先要根據(jù)實(shí)際問題所提供的條件，選擇確定模型的變量，再根據(jù)有關(guān)學(xué)科，如物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科理論，找到這些變量遵循的規(guī)律，用微分方程的形式將其表示出來。

　　一、交通紅綠燈模型

　　在十字路口的交通管理中，亮紅燈之前，要亮一段時(shí)間的黃燈，這是為了讓那些正行駛在十字路口的人注意，告訴他們紅燈即將亮起，假如你能夠停住，應(yīng)當(dāng)馬上剎車，以免沖紅燈違反交通規(guī)則。

　　這里我們不妨想一下：黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久才比較合適?

　　停車線的確定，要確定停車線位置應(yīng)當(dāng)考慮到兩點(diǎn)：一是駕駛員看到黃燈并決定停車需要一段反應(yīng)時(shí)間 ，在這段時(shí)間里，駕駛員尚未剎車。

　　二是駕駛員剎車后，車還需要繼續(xù)行駛一段距離，我們把這段距離稱為剎車距離。

　　駕駛員的反應(yīng)時(shí)間(實(shí)際為平均反應(yīng)時(shí)間) 較易得到，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或者統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求出，交通部門對(duì)駕駛員也有一個(gè)統(tǒng)一的要求(在考駕照時(shí)都必須經(jīng)過測(cè)試)。

　　例如，不失一般性，我們可以假設(shè)它為1秒，(反應(yīng)時(shí)間的長(zhǎng)短并不影響到計(jì)算方法)。

　　停車時(shí)，駕駛員踩動(dòng)剎車踏板產(chǎn)生一種摩擦力，該摩擦力使汽車減速并最終停下。

　　設(shè)汽車質(zhì)量為m，剎車摩擦系數(shù)為f，x(t)為剎車后在t時(shí)刻內(nèi)行駛的距離，更久剎車規(guī)律，可假設(shè)剎車制動(dòng)力為fmg(g為重力加速度)。

　　由牛頓第二定律，剎車過程中車輛應(yīng)滿足下列運(yùn)動(dòng)方程：

　　md2xdt2=-fmg

　　x(0)=0， dxdtt=0=v0

　　(1)

　　在方程(1)兩邊同除以 并積分一次，并注意到當(dāng)t=0時(shí)dxdt=V0，得到

　　dxdt=-fgt+v0

　　(2)

　　剎車時(shí)間t2可這樣求得，當(dāng)t=t2時(shí)，dxdt=0，故

　　t2=v0fg

　　將(2)再積分一次，得

　　x(t)=-12fgt2+v0t

　　將t2=v0fg代入，即可求得停車距離為

　　x(t2)=1v202fg

　　據(jù)此可知，停車線到路口的距離應(yīng)為：

　　L=v0t1+12v20fg

　　等式右邊的第一項(xiàng)為反應(yīng)時(shí)間里駛過的路程，第二項(xiàng)為剎車距離。

　　黃燈時(shí)間的計(jì)算，現(xiàn)在我們可以來確定黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久了。

　　在黃燈轉(zhuǎn)為紅燈的這段時(shí)間里，應(yīng)當(dāng)能保證已經(jīng)過線的車輛順利地通過街口，記街道的寬度為D(D很容易測(cè)得)，平均車身長(zhǎng)度為 ，這些車輛應(yīng)通過的路程最長(zhǎng)可達(dá)到L+D+l，因而，為保證過線的車輛全部順利通過，黃燈持續(xù)時(shí)間至少應(yīng)當(dāng)為：

　　T=L+D+lv0

　　二、市場(chǎng)價(jià)格調(diào)整模型

　　對(duì)于純粹的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)來說，商品市場(chǎng)價(jià)格取決于市場(chǎng)供需之間的關(guān)系，市場(chǎng)價(jià)格能促使商品的供給與需求相等這樣的價(jià)格稱為(靜態(tài))均衡價(jià)格。

　　也就是說，如果不考慮商品價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程，那么商品的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)能保證市場(chǎng)的供需平衡，但是，實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格不會(huì)恰好等于均衡價(jià)格，而且價(jià)格也不會(huì)是靜態(tài)的，應(yīng)是隨時(shí)間不斷變化的動(dòng)態(tài)過程。

　　如果設(shè)某商品在時(shí)刻t的售價(jià)為P，社會(huì)對(duì)該商品的需求量和供給量分別是P的函數(shù)D(P)，S(P)，則在時(shí)刻t的價(jià)格p(t)對(duì)于時(shí)間t的變化率可認(rèn)為與該商品在同時(shí)刻的超額需求量D(P)-S(P)成正比，即有微分方程

　　dPdt=k[D(P)-S(P)] (k>0)

　　(3)

　　在D(P)和S(P)確定情況下，可解出價(jià)格與t的函數(shù)關(guān)系，這就是商品的價(jià)格調(diào)整模型。

　　某種商品的價(jià)格變化主要服從市場(chǎng)供求關(guān)系。

　　一般情況下，商品供給量 是價(jià)格 的單調(diào)遞增函數(shù)，商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù)，為簡(jiǎn)單起見，分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為

　　S(P)=a+bP，Q(p)=α-βP

　　(4)

　　其中a，d，α，β均為常數(shù)，且b>0，β>0。

　　當(dāng)供給量與需求量相等時(shí)， 由(4)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格

　　Pe=α-aβ+b

　　并稱Pe為均衡價(jià)格。

　　一般地說，當(dāng)某種商品供不應(yīng)求，即SQ時(shí)，該商品價(jià)格要落。

　　因此，假設(shè)t時(shí)刻的價(jià)格P(t)的變化率與超額需求量Q-S成正比，于是有方程

　　dPdt=k[Q(P)-S(P)]

　　其中k>0，用來反映價(jià)格的調(diào)整速度。

　　將(4)代入方程，可得

　　dPdt=λ(pe-P)

　　(5)

　　其中常數(shù)λ=(b+β)k>0，方程(5)的通解為

　　P(t)=Pe+Ce-λt

　　假設(shè)初始價(jià)格P(0)=P0，代入上式，得C=P0-Pe，于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為

　　P(t)=Pe+(P0-Pe)eλt

　　由于λ>0知，t→+∞時(shí)，P(t)→Pe。

　　說明隨著時(shí)間不斷推延，實(shí)際價(jià)格P(t)將逐漸趨近均衡價(jià)格Pe。

　　這符合我們實(shí)際生活中具體事實(shí)。

　　微分方程模型及其應(yīng)用【3】

　　摘 要：微分方程模型應(yīng)用于解決實(shí)際問題有非常大的研究空間，本文重點(diǎn)討論了微分方程的原理，微分方程思想對(duì)于解決現(xiàn)實(shí)問題的啟示以及現(xiàn)實(shí)生活中利用微分方程模型解決具體問題的案例，旨在進(jìn)行微分方程理論學(xué)習(xí)之余提出自己的一些思考。

　　關(guān)鍵詞：微分方程;模型;應(yīng)用

　　對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的變化，人們關(guān)注的往往是變量之間的變化率，或變化速度、加速度以及所處的位置隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律，之中的規(guī)律一般可以寫成一個(gè)(偏)微分方程或方程組。

　　所以實(shí)際問題中，有大批的問題可以用微分方程來建立數(shù)學(xué)模型，涉及的領(lǐng)域包括物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、力學(xué)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、人口、資源等等。

　　一、微分方程數(shù)學(xué)原理解析

　　在初等數(shù)學(xué)中，方程有很多種，比如線性方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程等，然而并不能解決所有的實(shí)際問題。

　　要研究實(shí)際問題就要尋求滿足某些條件的一個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)方程。

　　這類問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)的解方程思想有著許多的相似之處，但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面依然存在很多不同的地方，為了解決這類問題，從而產(chǎn)生了微分方程。

　　微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設(shè)的基礎(chǔ)課程，微分方程與微積分是同時(shí)產(chǎn)生的，一開始就成為人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的有力工具，隨著生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，該學(xué)科已經(jīng)演變發(fā)展為數(shù)學(xué)學(xué)科理論中理論聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要分支。

　　隨著數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的日益活躍，利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型，成為解決實(shí)際問題不可或缺的方法與工具。

　　而數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).簡(jiǎn)單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式(或是用數(shù)學(xué)術(shù)語對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述)，即用數(shù)學(xué)式子(如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等)來描述(表述、模擬)所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。

　　二、微分方程模型應(yīng)用于實(shí)際問題的方法和流程總結(jié)

　　在研究實(shí)際問題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)��?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型。

　　微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。

　　一般用于求解微分方程的方法或形式有三種，分別是求解析解、求數(shù)值解(近似解)和定性理論方法。

　　而建立微分方程模型的方法通常也有三種，其一是利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來建立微分方程模型;其二是利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律;其三是在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。

　　在建立數(shù)學(xué)微分方程的流程上，我們通常第一步是對(duì)具體實(shí)際問題進(jìn)行分析，找出問題中的變化量和變量關(guān)系，接著進(jìn)行模型假設(shè)，將實(shí)際問題的元素用數(shù)學(xué)概念代替，然后進(jìn)行符號(hào)設(shè)定，簡(jiǎn)化計(jì)算，從而建立模型，進(jìn)行求解，最后用求解的結(jié)果對(duì)之前的問題分析和模型假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證合理后進(jìn)行模型的應(yīng)用和評(píng)估。

　　三、微分方程模型應(yīng)用領(lǐng)域歸納和具體案例分析

　　從應(yīng)用領(lǐng)域上講，微分方程大方向上的應(yīng)用領(lǐng)域主要分社會(huì)及市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭(zhēng)微分模型分析、人口與動(dòng)物世界、疾病的傳染與診斷和自然科學(xué)這五個(gè)方面，如果細(xì)致來講，其中社會(huì)及市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)方面又包括綜合國(guó)力的微分方程模型、誘發(fā)投資與加速發(fā)展的微分方程模型、經(jīng)濟(jì)調(diào)整的微分方程模型、廣告的微分方程模型、價(jià)格的微分方程模型;戰(zhàn)爭(zhēng)微分模型包括軍備競(jìng)賽的微分方程模型、戰(zhàn)爭(zhēng)的微分方程模型、戰(zhàn)斗中生存可能性的微分方程模型、戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估模型。

　　人口與動(dòng)物世界領(lǐng)域包括單種群模型及進(jìn)行開發(fā)的單種群模型、弱肉強(qiáng)食模型、兩個(gè)物種在同一生態(tài)龕中的競(jìng)爭(zhēng)排斥模型、無管理的魚類捕撈模型、人口預(yù)測(cè)與控制模型;疾病傳染與診斷領(lǐng)域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病診斷的微分方程模型、人體內(nèi)碘的微分方程模型、藥物在體內(nèi)的分布與排除模型;自然科學(xué)領(lǐng)域包括人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的微分方程模型、航空航天器翻滾控制的微分方程模型、非線性振動(dòng)的微分方程模型、PLC電路自激振蕩的微分方程模型和盯梢與追擊問題的微分方程模型等。

　　盡管從上述微分方程應(yīng)用領(lǐng)域的羅列和總結(jié)上，我們會(huì)覺得比較復(fù)雜，其實(shí)所有微分方程建模問題的流程都是嚴(yán)格按照問題分析、模型假設(shè)、符號(hào)設(shè)定、建立模型、模型求解和驗(yàn)證模型這一流程進(jìn)行的，下面就結(jié)合一個(gè)案例來具體分析：

　　比如弱肉強(qiáng)食微分方程模型。

　　生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進(jìn)行著殘酷的生存競(jìng)爭(zhēng)。

　　設(shè)想一海島，居住著狐貍與野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之豐富，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖;兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐貍數(shù)量增加吃掉大量兔子，狐群又進(jìn)入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時(shí)兔子相對(duì)安全，于是兔子總數(shù)回升。

　　就這樣，狐兔數(shù)目交替地增減，無休止的循環(huán)，遂形成生態(tài)的動(dòng)態(tài)平衡。

　　那么，如何用建立數(shù)學(xué)模型描述并預(yù)測(cè)下一階段情況呢?在這個(gè)問題上，某一時(shí)刻兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量就存在變量關(guān)系：

　　其中ax表示兔子的繁殖速度與現(xiàn)存兔子數(shù)成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度;-cy表示狐貍因同類爭(zhēng)食造成的死亡速度與狐貍總數(shù)成正比;dxy表示狐兔相遇，對(duì)狐貍有好處而使狐貍繁殖增加的速度。

　　四、結(jié)語

　　微分方程模型的應(yīng)用讓很多現(xiàn)實(shí)中難以具體計(jì)算的問題迎刃而解，通過對(duì)事物發(fā)展規(guī)律的掌控進(jìn)行科學(xué)建模，是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的發(fā)展趨勢(shì)，作為廣大在校進(jìn)行數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)的同學(xué)來說，掌握好專業(yè)基本功，是將來就業(yè)工作，實(shí)現(xiàn)自身價(jià)值的重要途徑。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]肖靜宇. 幾類分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值方法研究[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013.

　　[2]付樹軍. 圖像處理中幾何驅(qū)動(dòng)的變分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大學(xué)，2008.

　　[3]李艷霞. 基于變分偏微分方程的圖像分解研究與應(yīng)用[D].中國(guó)海洋大學(xué)，2009.

　　[4]劉桂榮. 時(shí)滯微分方程的周期正解及其在種群模型中的應(yīng)用[D].山西大學(xué)，2007.

【微分方程應(yīng)用舉例】相關(guān)文章：

微分方程的應(yīng)用教學(xué)10-05

微分方程模型及其應(yīng)用10-05

一階微分方程的應(yīng)用10-05

偏微分方程課堂實(shí)踐教學(xué)應(yīng)用10-05

簡(jiǎn)述計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件在常微分方程中的應(yīng)用10-06

微分方程數(shù)值解法10-05

常微分方程的教學(xué)10-08

微分方程的近似解法10-07

微分方程的數(shù)值解法10-07