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略談幾何畫板應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)科教育研究論文
關(guān)鍵詞：運(yùn)動過程數(shù)學(xué)現(xiàn)象抽象具體興趣
信息技術(shù)日新月異，必然會引起社會很多方面的深刻變化，對教育的各個方面也產(chǎn)生了無法估量的巨大影響。如何迎接這個挑戰(zhàn)，用信息技術(shù)改進(jìn)我們的教育工作，是我們面臨的任務(wù)，開展多媒體技術(shù)與課程的整合是其中的一個重要方面。經(jīng)過多方面的探索，我們感到應(yīng)用“幾何畫板”與數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行整合，是一個很好的突破口。
“幾何畫板”是教育部全國中小學(xué)計算機(jī)研究中心向全國中小學(xué)數(shù)學(xué)、物理教師推薦的優(yōu)秀教學(xué)軟件，能在動態(tài)變化中保持給定的幾何關(guān)系，學(xué)習(xí)、掌握這個軟件比較容易，用它制作課件比較簡單，既有利于教師制作，也有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實踐與探索，拓寬了創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的渠道。
一、有目的地使用“幾何畫板”，解決數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點
傳統(tǒng)的教學(xué)方法，經(jīng)過無數(shù)教師的努力，有很多成功的經(jīng)驗，有很好的效果。其中有一些經(jīng)驗在信息時代也可能不會被替代，甚至發(fā)揚(yáng)光大。多媒體技術(shù)與課程的整合則應(yīng)當(dāng)有目的和更有效的解決傳統(tǒng)教學(xué)中，無法解決或解決不好的一些問題。
1．表現(xiàn)空間圖形的不同觀察角度
“幾何畫板”能制作出由操作者控制視角的各種立體幾何圖形，使學(xué)生能從任何方向來觀察它們及這些幾何體上的線段與截面，在讓學(xué)生觀察實物的基礎(chǔ)上，再調(diào)用這些課件，學(xué)生都能看到這些可動態(tài)變化的幾何體，不僅看得比較清晰，而且能多角度進(jìn)行觀察，彌補(bǔ)了實物觀察時的不足之處，又能在實物與圖形之間建立了一個中間環(huán)節(jié)，更有利于對空間圖形的想象，這對逐步提高學(xué)生的空間想象能力是極好的教具與學(xué)具。
2．表現(xiàn)兩個變量之間形象的函數(shù)關(guān)系
例如：“已知矩形ABCD，AB=4厘米，BC=3厘米，點P為折線BCD上任意一點，設(shè)AP與矩形ABCD所圍成的三角形面積是Ｓ平方厘米，從點A沿矩形周界且經(jīng)過點B（或再經(jīng)過點C），到P的距離是x厘米，試用解析式將S表示成x的函數(shù)�！蔽覀兡苡谩皫缀萎嫲濉碑嫵鯝P與矩形ABCD所圍成的三角形，三角形面積會隨著P點在矩形周界上運(yùn)動而變化，在“幾何畫板”中還能度量出P點的運(yùn)動距離x與三角形面積S,這些度量值會隨著P點的運(yùn)動而改變，還能顯示出S與x函數(shù)圖象。使“運(yùn)動”進(jìn)入數(shù)學(xué)能生動地表現(xiàn)出來。
3．表現(xiàn)幾何圖形性質(zhì)的普遍意義
幾何性質(zhì)是具有普遍意義的，但我們只能從個別、具體的例子入手學(xué)習(xí)。應(yīng)用“幾何畫板”制作課件，較好的解決了這個矛盾。“幾何畫板”制作的課件能讓每個具體的圖形運(yùn)動起來，而且在這個運(yùn)動的過程中，能保持給定的幾何關(guān)系。例如：在探究“三角形三條中線交于一點�！边@個性質(zhì)時，我們在一個三角形中作出兩條中線之后，再作第三條中線正好經(jīng)過這兩條中線的交點。為了說明這個性質(zhì)的普遍意義，可再制作一個“動畫”按鈕，或拖動三角形的頂點，使三角形運(yùn)動變化，但在變化過程中，這三條中線始終交于一點。這樣學(xué)生對任何一個三角形都具有這個性質(zhì)，有很深的印象。
4．表現(xiàn)的事物抽象性，和抽象理論的具體性
廣泛的應(yīng)用性與高度的抽象性是數(shù)學(xué)的特點，也是學(xué)生產(chǎn)生興趣與學(xué)習(xí)的難點所在，解決好數(shù)學(xué)的抽象性問題，是幫助學(xué)生克服難點，提高興趣的關(guān)鍵。在小學(xué)“圖形的認(rèn)識”這節(jié)課中，用“幾何畫板”制作的課件，向?qū)W生展示的紅領(lǐng)巾、手帕等實物，可以移去紅色、花紋、布料等非研究對象，從中抽象出三角形、四邊形等圖形，提高學(xué)生的抽象思維能力。如果講低年級的學(xué)生主要是從具體到抽象的過程，那么高年級學(xué)生主要是用具體的形象來幫助他們理解抽象的理論，例如：人們在幾何教學(xué)中常講“點動成線，線動成面，面動成體�！钡瑢W(xué)不一定真正理解這句話的含義。于是我們制作一個課件，來演示一個點運(yùn)動后變成一條線段，一條線段運(yùn)動后轉(zhuǎn)化成一個矩形，一個矩形運(yùn)動轉(zhuǎn)化成一個長方體的過程，使學(xué)生對抽象的事物有個感性的認(rèn)識作為理論的基礎(chǔ)。
5．表現(xiàn)各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象的運(yùn)動過程
物體的運(yùn)動過程用語言與文字很難表達(dá)清楚，但用圖形能達(dá)到一種新的意境。例如：橢圓是用軌跡來定義的，而軌跡是用運(yùn)動來表現(xiàn)的，我們用“幾何畫板”制作了到兩個定點距離之和為定值的一個動點，并度量出這個動點到兩個定點之間的距離，再計算出這兩個距離之和，在這個課件中學(xué)生能清晰看到動點的運(yùn)動軌跡，對橢圓軌跡留下鮮明的印象。
二、在學(xué)生中開展學(xué)習(xí)“幾何畫板”活動，提高學(xué)生的計算機(jī)的應(yīng)用能力及實踐與創(chuàng)新的能力
1．“幾何畫板”是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗的重要工具
現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生計算、演澤等具有根本意義的嚴(yán)格推理的能力，還培養(yǎng)學(xué)生預(yù)感試驗，嘗試歸納、“假設(shè)——檢驗”、簡化然后復(fù)雜化，尋找相似性等非形式推理或似真推理的能力。只有這樣，數(shù)學(xué)課程的創(chuàng)造性氣質(zhì)才算提高。實驗方法在數(shù)學(xué)科學(xué)中的作用愈來愈被重視，除了直接觀察、假想試驗，統(tǒng)計抽樣和計算機(jī)迭代、數(shù)字仿真等方法也日益被采用，成為發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的重要杠桿。而“幾何畫板”的使用，使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗多了一件有用的工具，使得在課堂上讓每個學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗成為可能。這種數(shù)學(xué)實驗，對學(xué)生主體意識的形成，主動參與數(shù)學(xué)實踐本領(lǐng)的提高，自行獲取數(shù)學(xué)知識的能力培養(yǎng)，都將發(fā)揮作用。
例如：為了判定垂心在三角形中的位置，我們讓學(xué)生在一個三角形中作出垂心，然后讓三角形任意變換（這在“幾何畫板”很容易做到），學(xué)生觀察了無數(shù)個三角形與它的垂心，從中發(fā)現(xiàn)不同類型的三角形的垂心的不同位置，概括出垂心在直角、銳角與鈍角三角形中的位置特征。
2．“幾何畫板”列入校本課程是一種明智的選擇
為了有效地在數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實踐，培養(yǎng)學(xué)生自行獲取數(shù)學(xué)知識的能力，我們學(xué)校為學(xué)生開設(shè)了“幾何畫板”這門課，作為我們的校本課程。在學(xué)習(xí)過程中，寓教于樂，學(xué)生不僅掌握了“幾何畫板”的使用，而且在學(xué)習(xí)過程中提高了對一些重要數(shù)
學(xué)概念的認(rèn)識——如對函數(shù)的認(rèn)識，提高多方面的能力——如探究問題，解決問題的能力。
3．組織學(xué)生用“幾何畫板”開展探究性學(xué)習(xí)活動中應(yīng)注意的幾個問題
經(jīng)過組織學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，我感到要有效的開展這項活動，教師還要注意以下幾個問題：⑴學(xué)生對“幾何畫板”操作要有一定的水平，否則學(xué)生會因為“幾何畫板”操作不熟悉而影響了對問題的探究；⑵教師要認(rèn)真設(shè)計一個探究的過程，即把一個大的目標(biāo)分解成幾個具體的小目標(biāo)，使學(xué)生有個逐步提高的過程，開始的時間可以設(shè)計得細(xì)一點，學(xué)生達(dá)到一定水平之后，各個目標(biāo)之間的跨度可大一點，并要注意這個過程的創(chuàng)造性成份；⑶教師既要有目標(biāo)導(dǎo)向，又要放手讓學(xué)生自己創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。
4．用“幾何畫板”開展探究性學(xué)習(xí)活動提高了學(xué)生的創(chuàng)新和實踐能力
用“幾何畫板”開展探究性學(xué)習(xí)活動大大轉(zhuǎn)變了教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)了學(xué)生創(chuàng)新和實踐的能力，產(chǎn)生了師生互動的生動教育局面。
例如對下面一個問題，我們作了這樣一個嘗試：
已知：P（2，3），Q（4，1）在X軸上求一點M，使|MP|－|QM|最大。
學(xué)生由于受函數(shù)學(xué)習(xí)的影響，提出如下解法：設(shè)M的坐標(biāo)為（X，0），則，至此，學(xué)生就無法解下去了。
這時我們讓學(xué)生打開“幾何畫板”，作出圖形，并度量出有關(guān)的量（見圖一）。
再讓學(xué)生在X軸上拖動M點，各種度量值（圖一）也隨著M點的變化而變化,由于在畫面上可看|PM|－|QM|的值，因此學(xué)生很快發(fā)現(xiàn),當(dāng)M在PQ延長線上時（見圖二）,|PM|－|QM|最大。經(jīng)過這樣自主的探究學(xué)生很快找到解題的方法。可喜（圖二的是經(jīng)過多次練習(xí)，這種探究活動已成為學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺行動與有效方法。
又例如：我們經(jīng)常用“幾何畫板”解決一些帶有參數(shù)的函數(shù)問題，如“f(x)＝ax(a＞0,a≠1),g(x)＝bx(b＞0,b≠1),比較這兩個函數(shù)值的大小�！薄耙阎獃＝ax2＋bx,當(dāng)a＞0,b＜0時,頂點P在第幾象限；當(dāng)b∈(－∞,∞)時，點P的軌跡是什么？”這類問題，雖然題目各不相同，但在“幾何畫板”中的探究過程卻幾乎是一致的，做多了，有的學(xué)生對用“幾何畫板”探究這類帶有參數(shù)的函數(shù)問題進(jìn)行歸納、建模：⑴建立參數(shù)；⑵建立帶有參數(shù)的函數(shù)；⑶作出函數(shù)圖象，⑷改變參數(shù)，觀察函數(shù)圖象的變化，探究性質(zhì)；⑸驗證或證明探究所得到的性質(zhì)，或舉例否定這個性質(zhì)。用“幾何畫板”開展探究性學(xué)習(xí)活動，通過學(xué)生自身的操作和主動參與，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，創(chuàng)新和實踐能力提高迅速我始料不及的。
5．開展學(xué)習(xí)“幾何畫板”活動，提高了學(xué)生應(yīng)用計算機(jī)的意識和能力
學(xué)習(xí)“幾何畫板”，不僅有利于數(shù)學(xué)教學(xué)，而且也有利于信息科技的學(xué)習(xí)。由于“幾何畫板”與學(xué)生的學(xué)習(xí)生活有緊密的聯(lián)系，學(xué)生學(xué)習(xí)了“幾何畫板”，使計算機(jī)成為學(xué)生學(xué)習(xí)中的工具而經(jīng)常使用，這將提高學(xué)生在學(xué)習(xí)、生活中應(yīng)用計算機(jī)的意識，也將有效的提高學(xué)生計算機(jī)的應(yīng)用能力。
三、解決師資培訓(xùn)工作中的問題，提高教師對“幾何畫板”使用水平，促進(jìn)多媒體與課程的整合向更廣闊、更深入的層次發(fā)展。
經(jīng)過多年努力，我們學(xué)校在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用“幾何畫板”取得一定成果。在教師培訓(xùn)工作中，教師向我們提出很多問題，促進(jìn)我們?nèi)ニ伎�、學(xué)習(xí)，并與廣大教師一起探究，促進(jìn)了多媒體技術(shù)與課程的整合工作向更廣闊，更深入的層次發(fā)展。
1．解決教師在操作、應(yīng)用中的困難
在師資培訓(xùn)中廣大教師涌躍參加，并努力用于教學(xué)實踐。教師在學(xué)習(xí)中也會發(fā)生類似于學(xué)生學(xué)習(xí)中的一些操作性困難，這些困難通過講解、幫助就可以解決。在教師培訓(xùn)中我們發(fā)現(xiàn)教師們碰到的與學(xué)生的困難有不同之處，新的困難是教師自已根據(jù)教學(xué)要求，制作課件時碰到的困難，這實際是對課件結(jié)構(gòu)分析的困難，于是我們及時調(diào)整培訓(xùn)內(nèi)容，增加對課件結(jié)構(gòu)的分析，幫助教師提高自己對課件的設(shè)計能力，制作出符合自己教學(xué)要求的課件。
2．解決“幾何畫板”與其它軟件綜合應(yīng)用問題
在培訓(xùn)中老師們提出的有些問題，超過了人教社編寫的《幾何畫板用戶指南》與全國中小學(xué)計算機(jī)教育研究中心編寫的《幾何畫板參考手冊》中包含的內(nèi)容，例如：“如何在PowerPoint中調(diào)用幾何畫板？”為此我們查閱了一些資料，找到了解決的方法——在PowerPoint的幻燈片中制作調(diào)用按鈕。雖然這看似一個不大的問題，但這個問題解決，將綜合發(fā)揮這兩個軟件的長處，有利于教師根據(jù)教學(xué)的要求，制作出更好的課件。
3．探究新版軟件的應(yīng)用
在使用“幾何畫板”制作課件的過程中，老師們還向我們提出了另一類問題。例如：能不能控制運(yùn)動速度；能不能讓各個幾何對象一個接著一個運(yùn)動，而不是所有幾何對象一起運(yùn)動等問題。而這些問題正是我們想解決，但在目前“幾何畫板”中無法解決的問題。如果這些問題能夠解決，“幾何畫板”將能制作更多適合課本要求的課件，但我們知道，3.05版“幾何畫板”不具有這些功能。我們在網(wǎng)上與同行探討發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上有新的4.03版“幾何畫板”，經(jīng)過多次努力我們從網(wǎng)上下載成功。雖然新版“幾何畫板”無幫助文件，市場也沒有這版本的操作手冊，于是我們一方面從網(wǎng)上尋找，求助于網(wǎng)友們的點滴經(jīng)驗體會，另方面自己進(jìn)行嘗試探究新的功能，經(jīng)過努力，老師提出的幾個問題竟然都找到了解決的方法，還發(fā)現(xiàn)了新版軟件中新增加或加強(qiáng)的一些功能。如數(shù)學(xué)符號的編輯功能、建立參數(shù)的功能、建立函數(shù)與制作函數(shù)圖象的功能、分頁功能等，為了使大家能使用這些功能，我們把新發(fā)現(xiàn)的功能進(jìn)行整理，按“功能介紹”、“案例”、“操作步驟”幾個欄目編印成講稿，介紹給大家。進(jìn)一步發(fā)揮了“幾何畫板”的作用。現(xiàn)在我們很多同行都迫切希望得到新版“幾何畫板”的漢化的正版軟件與相關(guān)操作資料，相關(guān)部門如能做好這件事，實際上是為多媒體技術(shù)與課程整合作出了貢獻(xiàn)。
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