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數(shù)學(xué)例題的教育功能的拓展論文
眾所周知，例題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié).可是在日常教學(xué)中，部分教師的例題教學(xué)具有太多的隨意性，影響例題教學(xué)功能的正常發(fā)揮.帶著這個問題，筆者不拘泥于校內(nèi)，廣泛學(xué)習(xí)，開展教學(xué)研究，有所領(lǐng)悟.下面以一節(jié)高三復(fù)習(xí)課為例，探討例題教學(xué)的功能問題.
一、聽課筆錄
1.流淌一題多解，打開解題思路
教師:零點問題是函數(shù)的重點問題，也是高考的熱點問題，請大家一起來探討題目:“已知函數(shù)f(x)=2a+2x-3-a在區(qū)間[-1，1]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍”的解法.
學(xué)生1:當(dāng)a=0時，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上沒有零點，不合題意，故a≠0.
當(dāng)a≠0時，二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上有一個零點或兩個零點，故f(1)f(-1)≤0或
教師:好!一人一種方法，兩位同學(xué)就給出了兩種解法，打開了解題思路.學(xué)生1根據(jù)二次函數(shù)的圖象，將零點分布問題轉(zhuǎn)化為解不等式組的問題，自然流暢.學(xué)生2巧妙地將零點分布問題轉(zhuǎn)化為考察兩條曲線交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為解不等式組的問題，一氣呵成.兩位同學(xué)勇于探索，殊途同歸，都是利用數(shù)形結(jié)合的思想，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式組的問題，值得大家學(xué)習(xí).但是答案不同，問題出現(xiàn)在哪里?你還有不同的解法嗎?
2.審視思維過程，利用錯解資源
學(xué)生3:學(xué)生1的思路容易想到，不但利用了數(shù)形結(jié)合思想，還用到了分類討論的思想.但是解不等式組時出現(xiàn)了計算方面的錯誤，結(jié)果是“1≤a≤5或或a≥5”，即學(xué)生2的答案是對的.
學(xué)生4:學(xué)生2得到的不等式組有些突然，兩個同學(xué)的答案不同，使我懷疑學(xué)生2的結(jié)果，順著他的思路想下去，通過畫圖，感到思路其實也很簡單、自然.當(dāng)a>0時，拋物線的開口向上，頂點在y軸的負(fù)半軸上，拋物線與直線的交點的橫坐標(biāo)在區(qū)間[-1，1]上;當(dāng)a<0時，拋物線的開口向下，頂點在y軸的正半軸上，要以直線的縱截距為分類標(biāo)準(zhǔn)展開討論.當(dāng)a≤-3時，與a>0時的做法類似;當(dāng)-3<0時，拋物線與直線從相交到相切，故得出-3><.>
學(xué)生5:之所以感到這種問題的挑戰(zhàn)性，錯誤常發(fā)生在所列出的不等式(組)，但是，有時也發(fā)生在解不等式組.因此，解題時既要重視解題思路的探求，也要重視運算、變形等操作層次的基本功訓(xùn)練.當(dāng)答案不同時，可以運用“一題多解”進(jìn)行驗證，把思路打開.
教師:有見解!學(xué)生3和學(xué)生4不但審視了兩位同學(xué)的思維過程，而且從宏觀著眼，提出了解決問題的數(shù)學(xué)思想，從微觀入手，提出了問題解決過程中的細(xì)節(jié)問題.學(xué)生5從學(xué)生1的錯解和自己的解題經(jīng)歷出發(fā)，談解題心得體會.請大家重新審視學(xué)生1和學(xué)生2的解題思路，思考得到的不等式組的合理性，驗算結(jié)果，看看從中還能得到什么啟發(fā)?
3.多向提出問題，溝通因果關(guān)系
教師:好，有點探索的味道.不過，這個問題與所討論的題目有什么關(guān)系呢?
教師:好哇!學(xué)生7建立了與已有問題的聯(lián)系，利用學(xué)生1的方法求解，體現(xiàn)了一法多用.學(xué)生8更是另辟蹊徑，將零點分布問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，讓人耳目一新.但是，兩人的結(jié)果又不一樣，怎樣評價?
教師:學(xué)生9具有實事求是的科學(xué)態(tài)度，驗算能夠“吸取精華，去掉糟粕”，誰又能夠解答學(xué)生9的困惑?
學(xué)生10:問題發(fā)生在轉(zhuǎn)化的等價性方面，即不是充要條件.因此，對于區(qū)間端點，還是要進(jìn)行檢驗.
4.聚焦解題智慧，升華數(shù)學(xué)思想
教師:不錯，學(xué)生10既找出了錯因，也提出了解決問題的辦法.只有幾分鐘就要下課了，大家發(fā)掘一下，可能得到更多啟迪，受到更多啟發(fā).
學(xué)生11:解決函數(shù)零點問題有三種途徑，一是直接根據(jù)函數(shù)零點存在條件得到不等式(組);二是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，按照交點位置建立不等式(組);三是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.
學(xué)生12:溝通了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點的關(guān)系，函數(shù)在給定區(qū)間不單調(diào)，其本質(zhì)是它的導(dǎo)函數(shù)在這個區(qū)間有零點，且沒有相同的零點，2009年高考數(shù)學(xué)浙江卷文科第21題第(Ⅱ)問、理科第22題第(Ⅰ)問(其實就是學(xué)生6給出的題目)都是這樣的問題.
學(xué)生13:我用學(xué)生8的方法求解第一個題目，能夠得到正確的答案，但是在分離參數(shù)時遇到要考慮系數(shù)不為零的問題.
學(xué)生14:學(xué)生11概括的三種方法，都是在化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想指導(dǎo)下，得到不等式(組)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)解題中的指導(dǎo)作用.
學(xué)生15:說實在的，這些問題我感覺較難，難就難在如何正確得到不等式組.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我找到了破解“含參函數(shù)零點(不單調(diào))問題”的思想方法.
學(xué)生16:當(dāng)我們遇到不太容易的問題時，我們要聯(lián)想與之相關(guān)的問題，用熟悉問題的處理方式、已有的方法去解決問題;當(dāng)不太容易的問題得到解決后，我們還要聯(lián)系與之相關(guān)的問題，比較分析，組題研究，以尋求一類問題的解決方法和解題規(guī)律.
教師:真是太好了!學(xué)生12溝通了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點的關(guān)系，多題歸一，有化歸意識;學(xué)生15給這節(jié)課的問題“命名”，給出了問題的識別標(biāo)志;學(xué)生11總結(jié)得到這類問題的三種解法，為大家提供了解決問題的方法;學(xué)生14結(jié)合探索過程，概括了解決問題的數(shù)學(xué)思想;經(jīng)過學(xué)生16的升華，升格為我們處理不太容易問題的思想策略;請大家關(guān)注學(xué)生13的問題，作為研究性學(xué)習(xí)課題，對這節(jié)課的問題進(jìn)行深入研究，我想大家還會有意想不到的收獲.
二、教研思考
1.生“動”:發(fā)揮例題教學(xué)的基本功能
文[1]認(rèn)為，“生動”課堂的內(nèi)涵還應(yīng)涵蓋學(xué)生的表現(xiàn)，要看學(xué)生是否積極參與了課堂，即“生動”課堂要求生“動”，這里的“動”不僅要有“學(xué)生的說、學(xué)生的做”這些顯性的動，更要有“學(xué)生的思、學(xué)生的想”這些隱性的動.
應(yīng)該說，案例中教師給出的例題對學(xué)生具有智力挑戰(zhàn)性.但是，作為高三第一輪復(fù)習(xí)的一節(jié)綜合應(yīng)用課，具有思維訓(xùn)練的價值.本節(jié)課中，“學(xué)生的說、學(xué)生的做”這些顯性的動比較多，有15位學(xué)生上黑板進(jìn)行板書或發(fā)表意見，教師給出例題后，學(xué)生進(jìn)行了8分鐘的自主探索，就是學(xué)生5談解題心得體會后，教師還要求學(xué)生“重新審視學(xué)生1和學(xué)生2的解題思路”，進(jìn)行驗算.生“動”，增加了學(xué)生的體驗、說的底氣;生“動”，提供了思的素材、思的線索;生“動”，帶動了學(xué)生的思、學(xué)生的想”，發(fā)揮了例題教學(xué)導(dǎo)思、導(dǎo)行等方面的基本功能.
其實，例題教學(xué)的功能是多方面的.例題教學(xué)是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本知識，形成數(shù)學(xué)基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，改變學(xué)習(xí)方式的重要環(huán)節(jié).按照一定的教學(xué)意圖設(shè)置一定的例題，是發(fā)揮例題教學(xué)基本功能的基礎(chǔ).正例可以同化知識，強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念;反例可以順應(yīng)知識，重組認(rèn)知結(jié)構(gòu);匹配好的例題、練習(xí)題的解題教學(xué)，可以訓(xùn)練思維，引領(lǐng)研究性學(xué)習(xí).
當(dāng)然，一個例題不可能承載眾多的教育功能，就是有較多的教學(xué)功能也不可能在一節(jié)課中發(fā)揮得淋漓盡致，畢竟一節(jié)課的教學(xué)時間是有限的.要按照教學(xué)目標(biāo)設(shè)計例題教學(xué)，以發(fā)揮例題教學(xué)的基本功能、保障教學(xué)意圖的落實.對于學(xué)生確有困難的題目，可以引導(dǎo)學(xué)生先審題，探求出解題思路后，再讓學(xué)生動手去做、去落實.對于一般的例題，可以讓學(xué)生先做、先嘗試，積累一定的經(jīng)驗后再組織學(xué)生去研討.
2.“互動”:突出例題教學(xué)的主要功能
文[2]認(rèn)為，“在培養(yǎng)思維能力的成效上，對一個問題從不同層次和維度上開掘100次，比對100個問題各只淺挖1次的效果要好得多”.
案例中，對例題的“開掘”有獨到之處.教師給出例題后，學(xué)生進(jìn)行了8分鐘的自主探索，從不同維度進(jìn)行“開掘”.15位學(xué)生上黑板進(jìn)行板書或發(fā)表意見，在互動中
匯集他們從不同層次和維度上“開掘”得到的信息，生成新的“開掘”點和“開掘”方向，引發(fā)思維“風(fēng)暴”，時而發(fā)生認(rèn)知“沖突”，引出探索問題;時而產(chǎn)生思維“碰撞”，閃爍理性智慧.互動，增添了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心、心靈感應(yīng);互動，產(chǎn)生了各種“意外”、探索氛圍;互動激發(fā)了學(xué)生參與的熱情，促進(jìn)了學(xué)生的思維運動，突出了培養(yǎng)思維能力的主要功能.
一節(jié)課，例題教學(xué)的主要教育功能是什么?這既取決于教學(xué)目標(biāo)，又取決于學(xué)生的現(xiàn)實水平，還取決于教師對課標(biāo)的理解及教學(xué)立意.從聽課筆記中可以看出，本課例中教師試圖通過解剖所提供的問題，引導(dǎo)學(xué)生探求解決“含參函數(shù)零點問題”的思想方法，以此為“抓手”，培育、發(fā)展學(xué)生的思維能力.而從學(xué)生課堂上的表現(xiàn)也可以看出，素材選擇符合學(xué)生的實際，教法有利于落實教學(xué)意圖、突出思維訓(xùn)練功能.
3.“聯(lián)動”:追求例題教學(xué)功能最大化
所謂聯(lián)動，狹義上講，是指知識之間的前后聯(lián)系、個體的思維運動，前面的積累是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，后續(xù)學(xué)習(xí)又不斷深化對前面所學(xué)東西的認(rèn)識，相互聯(lián)系，形成學(xué)習(xí)觀點的變化，促進(jìn)個體思維進(jìn)動;廣義地說，是群體的價值聯(lián)系、聯(lián)合行動，它得到群體認(rèn)同，產(chǎn)生群體行動，形成一定的氛圍，促進(jìn)群體思維運動.
案例給人的感覺是“聯(lián)動”效應(yīng).從學(xué)生6提出的問題可以看出，學(xué)生6注意積累、關(guān)注知識之間的前后聯(lián)系，由當(dāng)前問題能夠聯(lián)想到與之相關(guān)聯(lián)的問題.他的問題得到了群體的響應(yīng)，有學(xué)生7利用學(xué)生1的方法所進(jìn)行的嘗試，還有學(xué)生8“另辟蹊徑，將零點分布問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題”求解的探索.從而溝通了函數(shù)零點與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，為群體提供了研究性學(xué)習(xí)材料和研究方法.特別是課堂的“后半段”，學(xué)生參與小結(jié)，一個個來自學(xué)習(xí)過程的真實感受，一個個閃爍著理性與智慧的發(fā)言，得到了群體的呼應(yīng)，推動著群體的思維運動。
新課程倡導(dǎo)“以學(xué)論教”，主張為學(xué)生的“終身學(xué)習(xí)”奠定基礎(chǔ).課例中教師不拘泥“預(yù)設(shè)”，實行教學(xué)民主，尊重學(xué)生的首創(chuàng)精神，以學(xué)生的問題、觀點為出發(fā)點，生成教學(xué)資源，引領(lǐng)探究活動，引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式，為落實新課程教育理念進(jìn)行了有益的探索、積極的嘗試.當(dāng)然，不能說課例盡善盡美，比如學(xué)生12說“2009年高考數(shù)學(xué)浙江卷文科第21題第(Ⅱ)問、理科第22題第(Ⅰ)問”就是相關(guān)的問題，教師可以利用現(xiàn)代信息技術(shù)展示給學(xué)生看，以此強(qiáng)化學(xué)生的問題意識、聯(lián)系的學(xué)習(xí)觀點和利用信息技術(shù)手段解決問題的觀念.
不應(yīng)該苛求一節(jié)課例題教學(xué)功能的全面性，但要追求例題教學(xué)功能，特別是主要功能的最大化.我們應(yīng)該將課程目標(biāo)分解到各個教學(xué)模塊、各節(jié)數(shù)學(xué)課，不斷強(qiáng)化導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)思、導(dǎo)行功能，以追求“不教而教”的終極目標(biāo)。
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